XLVII Congreso Nacional de la
Sociedad Matemática Mexicana
Durango, Dgo.
27 al 31 de octubre de
2014
Sesión Especial
Análisis Topológico de Datos
Organizada por José
Carlos Gómez Larrañaga, CIMAT y CIDE.
La sesión consta de
cinco mini cursos y tres conferencias de divulgación que se llevarán a cabo
durante la semana del congreso, de acuerdo al siguiente horario.
Mini cursos
·
TDA Applications,
Isabel Darcy, University of Iowa
·
Homología
persistente, Malors Emilio Espinosa Lara, CIMAT
·
Aspectos
computacionales de TDA y Big Data, Ramón Reyes, INFOTEC
·
Probabilidad,
estadística, y análisis topológico de datos, Miguel
Nakamura Savoy y Víctor Pérez Abreu,
CIMAT
·
Teoría de
Morse para TDA, Juan Ahtziri González Lemus, CIMAT
Conferencias de Divulgación
·
Topología
Algebraica y Robótica, Jesús González, CINVESTAV
·
Una
aplicación a genética del análisis topológico de datos, José María Ibarra Rodríguez, DEMAT-UG
·
Stochastic Perspective on Topological Data Analysis,
Sayan Mukherjee, Duke
University
Resúmenes
1.
Mini curso
Isabel Darcy, University of Iowa
Título: TDA
Applications
Abstract: Topology
has many applications. It allows one to recognize shapes, but allows for distortions.
Hence topology has been used to study the shape of noisy data. At minimum
persistent homology can be used to cluster data when it is unclear what
threshold should be used for determining connections such as when constructing
a brain network. But holes in data can have significant meaning. We will cover the basics of topological data
analysis via several applications including brain imaging, image compression,
and gene expression.
2. Conferencia de Divulgación
Jesús González, CINVESTAV
Título: Topología Algebraica y Robótica
Resumen: En esta charla se ofrece un panorama de la forma
en que las técnicas de la topología algebraica han incursionado en los últimos
años dentro de la robótica.
3. Mini curso
Malors Emilio Espinosa Lara, CIMAT
Título: Homología Persistente
Resumen: A grandes rasgos, la homología persistente
intenta entender la forma de un espacio topológico no sólo desde el punto de
vista estático sino también histórico, es decir, cómo fueron creándose o
destruyéndose las características que definen al espacio y así asignarles una
noción de cuánto han persistido durante la historia del objeto. Por ejemplo, no
se desea sólo saber que el toro tiene dos agujeros sino cómo aparecieron esos
hoyos al pensar en el toro como un objeto que va cambiando con el tiempo.
El objetivo de este mini curso es lograr lo
siguiente:
1. Definir homología persistente, como una
aplicación de la homología a ciertos espacios topológicos con el objetivo de no
sólo poder entender la forma del espacio sino de equiparar al espacio con una
historia de cómo la forma cambia con el tiempo.
2. Aprender a construir diagramas de persistencia
que es el objeto donde se ha resumido gran parte de la información obtenida a
partir de la homología persistente y en el cual se podrá llevar a cabo el
análisis estadístico.
3. Mostrar un algoritmo para calcular los diagramas
de persistencia de manera que evite el cálculo explícito de los grupos de
homología y nos permita llegar directamente al resultado deseado (los diagramas
de persistencia) a partir de técnicas del álgebra lineal.
El curso será panorámico por lo que no se ahondará
en las demostraciones y tendrá prioridad entender los conceptos y ver cómo se
usan los algoritmos presentados.
4. Mini curso
Ramón Reyes, INFOTEC
Título: Aspectos computacionales
de TDA y Big Data
Resumen: Repasaremos los principales problemas que enfrenta
la computación frente al fenómeno denominado “Big-Data” y revisaremos tanto las
bases computacionales de la propuesta que presenta el Análisis Topológico de
Datos, así como los sistemas y software que se ha ido desarrollando en este
contexto.
5.
Conferencia
de Divulgación
José María Ibarra
Rodríguez, DEMAT-UG
Título: Una aplicación a genética del análisis
topológico de datos
Resumen: El
análisis topológico de datos es una herramienta moderna para realizar análisis
de datos complejos. Ésta técnica basada en ideas de topología algebraica,
genera hoy retos importantes en áreas como computación y estadística y tiene
una aplicación creciente. En ésta plática se presentará una breve introducción
acerca de las ideas claves asociadas y se verá un ejemplo de una aplicación a
genética, comparándola con las técnicas estadísticas que se usan usualmente
para el mismo problema.
6.
Mini curso
Miguel Nakamura
Savoy y Víctor Pérez Abreu, CIMAT
Título: Probabilidad, estadística, y análisis
topológico de datos
Resumen: El
Análisis Topológico de Datos (TDA) es una herramienta basada en topología
algebraica con aplicaciones crecientes para el análisis de datos complejos.
Recientemente se han considerado el análisis y la modelación estocástica,
planteándose retos para la computación, la estadística y la probabilidad. En
esta serie de pláticas se explicarán analogías de la relevancia de estadística
y probabilidad para TDA, tales como esperanza, momentos, mediana e hipótesis
nula y el por qué TDA puede ser considerado como un Análisis Exploratorio de
Datos (EDA) moderno. Se introducirán conceptos y resultados recientes para la
consideración de medidas de probabilidad e inferencia estadística para la
homología persistente, incluyendo medias de Fréchet e inferencia paramétrica
para diagramas de persistencia.
7.
Mini curso
Juan Ahtziri
González Lemus, CIMAT
Título: Teoría de Morse para TDA
Resumen: El mini curso se va a dividir en las siguientes 3
partes:
I -
Introducción rápida a la Teoría de Morse: Explicaremos de manera intuitiva (sin
demostraciones) como es que una función de Morse en una variedad induce una
descomposición en asas y mencionaremos algunos teoremas clásicos e
ilustrativos.
II -
Definición del Complejo de Morse-Smale: Definiremos funciones de Morse-Smale,
luego mostraremos como con ayuda de éstas podemos asociar a una variedad el
complejo de Morse-Smale. Dicho complejo es útil por que guarda la información
de las curvas de nivel donde la variedad cambia su topología.
III - Ejemplos y aplicaciones: Calcularemos el complejo de Morse-Smale
para algunas variedades sencillas y mostraremos aplicaciones de las
construcciones realizadas a TDA.
La sesión está pensada para alumnos de la segunda mitad de la
licenciatura, los únicos prerrequisitos verdaderos son los cursos de Cálculo
en Varias Variables y Topología I. |
8.
Conferencia
de Divulgación (extendida)
Sayan
Mukherjee, Duke University
Title: Stochastic Perspective on Topological Data
Analysis
Abstract: A probabilistic and statistical perspective on
topological data analysis (TDA) is discussed. We look at three aspects of TDA
from a Statistical perspective.
We first examine
a common summary statistic used in TDA – persistent homology or a persistence
diagrams. Persistent homology is introduced and described as a statistical
summary of point cloud data. Motivating examples are given as to why
topological summaries of data are Interesting. We then describe how these
summaries satisfies properties of a probability space. We state mathematical
and computational properties of means and variances of persistence diagrams.
The second idea
we develop is the idea of a sufficient statistic. The motivation is modeling
surfaces and shapes. We introduce two statistics, the persistent homology
transform (PHT) and Euler Characteristic (ECT), to model surfaces in and
shapes. We apply this to modeling bones across primates as well as to placing
likelihood models on shapes.
The last idea is
to extend what people have done in terms of random walks on graphs and spectral
graph theory to simplicial complexes. We first review the graph theoretical
ideas. We then discuss how random walks on simplicial complexes can be defined
and stationary distributions. We also develop isoperimetric inequalities on
simplicial complexes.