TSGA-GA-ES2023 

Monday, June 26, 23 at 10:11:17 PM America/Merida

Cursos

Temas Selectos de Geometría Algebraica (Geometría Aritmética) 2023

Teoría de Esquemas para la Geometría Aritmética

Curso Virtual CIMAT. Google Classroom

Profesores:

• Dr. J Rogelio Pérez Buendía (CIMAT-Mérida) EmailJRPB
• Dr. Cristhian Garay (CIMAT-Guanajuato) EmailCG

Descripción del Curso: Este curso es una introducción a la geometría algebraica en el lenguaje de esquemas, poniendo énfasis en el estudio de esquemas aritméticos con el objetivo de estudiar las propiedades de reducción de curvas algebraicas sobre campos de característica mixta.

Objetivos del Curso: El objetivo principal del curso es proporcionar a los estudiantes una sólida base en la teoría de esquemas y sus aplicaciones en geometría aritmética. Esto incluye conceptos clave de álgebra conmutativa, propiedades generales de esquemas, morfismos de esquemas y cambios de base, y propiedades locales de esquemas. Además, el curso proporcionará la oportunidad de investigar un tema más avanzado en geometría algebraica como un proyecto final.

Modalidad del Curso: El curso se llevará a cabo de manera virtual desde el CIMAT Mérida y presencial desde el CIMAT Guanajuato utilizando la plataforma Google Classroom.

Estructura del Curso y Temario (16 Semanas)

Semana 1-3: Revisión de conceptos del álgebra conmutativa

• Semana 1: Productos Tensoriales.
• Semana 2: Planaridad.
• Semana 3: Completación formal.

Semana 4-8: Propiedades generales de los esquemas

• Semana 4: El espectro de un anillo.
• Semana 5: Espacios topológicos anillados.
• Semana 6: Esquemas.
• Semana 7: Esquemas reducidos e integrales.
• Semana 8: Dimensión de los esquemas.

Semana 9-12: Morfismos de esquemas y cambios de base

• Semana 9: Morfismos de esquemas.
• Semana 10: Cambio de base.
• Semana 11: Aplicaciones a las variedades algebraicas.
• Semana 12: Propiedades globales de morfismos.

Semana 13-16: Propiedades locales de los esquemas

• Semana 13: Esquemas normales.
• Semana 14: Esquemas regulares.
• Semana 15: Morfismos suaves.
• Semana 16: Morfismos planos.

Proyectos Finales Los siguientes temas serán propuestos como posibles proyectos finales para el estudiante:

• Gavillas coherentes y cohomología de Cech.
• Gavilla de formas diferenciales.
• Divisores y aplicaciones a curvas.
• Reducción de curvas algebraicas.

Método de Evaluación

La evaluación del curso se realizará mediante exposiciones sobre ejercicios y tareas durante todo el curso. Además, se asignará un proyecto final en el que cada estudiante investigará uno de los temas propuestos para un estudio más profundo. Los estudiantes presentarán sus proyectos en la última semana del curso.

Bibliografía

1. Liu, Qing, and Arithmetic Curves. "Oxford Graduate Texts in Mathematics." Algebraic Geometry and Arithmetic Curves. 6 (2002).
2. Lochak, Pierre. "On arithmetic curves in the moduli space of curves." J. Inst. Math. Jussieu 4.3 (2005): 443-508.
3. Hartshorne, Robin. Algebraic geometry. Vol. 52. Springer Science & Business Media, 2013.
4. Manin, Yu I., and Michael A. Tsfasman. "Rational varieties: algebra, geometry and arithmetic." Russian Mathematical Surveys 41.2 (1986): 51.
5. Eisenbud, David, and Joe Harris. The geometry of schemes. Vol. 197. Springer Science & Business Media, 2006.
6. Vakil, Ravi. "The rising sea: foundations of algebraic geometry." preprint (2017).

Bibliografía Adicional

1. Grothendieck, A., et al. "Éléments de géométrie algébrique (EGA)." Publications mathématiques de l'IHÉS 4 (1960): 5-259.
2. Mumford, David. "The red book of varieties and schemes." Lecture Notes in Mathematics 1358 (1999).
3. Goertz, Ulrich, and Torsten Wedhorn. "Algebraic Geometry I." Advanced Lectures in Mathematics (2009).
4. Silverman, Joseph H. "The Arithmetic of Elliptic Curves." Graduate Texts in Mathematics, vol 106. Springer, Dordrecht (1986).
5. Bosch, Siegfried; Lütkebohmert, Werner; Raynaud, Michel. "Néron Models." Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), vol 21. Springer, Berlin, Heidelberg (1990).
6. Shafarevich, Igor R. "Basic algebraic geometry 1." Springer Science & Business Media (2013).
7. Hartshorne, Robin. "Ample subvarieties of algebraic varieties." Lecture Notes in Mathematics, Vol 156 (1970).
8. Gortz, Ulrich and Wedhorn, Torsten. "Algebraic Geometry I: Schemes with Examples and Exercises." Springer Science & Business Media (2010).
9. Neukirch, Jürgen. "Algebraic Number Theory." Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol 322. Springer, Berlin, Heidelberg (1999).
10. Mumford, David. "Abelian Varieties." Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, No. 5 Published for the Tata Institute of Fundamental Research, Bombay (1974).