Dinámica no-arquimediana (en espacios de Berkovich).
Profesores y horario:
Dr. J. Rogelio Pérez Buendia
Dr. Víctor Nopal Coello
Ma 11:00 a 12:20 En línea
Ju 11:00 a 12:20 En línea
Temas Selectos de Geometría Algebraica, Teorıa de Números y
Sistemas Dinámicas
Dinamita No-Arquimediana
Prerrequisitos Análisis real, Análisis complejo.
Descripción del curso. Este curso tiene por objetivo estudiar los sistemas dinámicos generados por la iteración de funciones racionales que actúan en un campo no-arquimediano. En analogía con dinámica compleja, se busca estudiar el conjunto de estabilidad (conocido como conjunto de Fatou) y el conjunto de inestabilidad (conocido como conjunto de Julia) de una función racional, cuando esta función actúa en un campo no-arquimediano y cuando actúa en el espacio de Berkovich.
Temario del curso
1. Dinámica No-Arquimediana Elemental.
1.1 Fundamentos de Dinámica No-Arquimediana.
1.1.1 Clasificación de puntos periódicos.
1.1.2 Conjugación local en puntos fijos.
1.1.3 Buena reducción.
1.1.4 Funciones LaLattès.
1.1.5 Dinámica en discos.
1.2 Conjuntos de Fatou y Julia.
1.2.1 La métrica esférica.
1.2.2 Conjuntos de Fatou y Julia.
1.2.3 Propiedades de los conjuntos de Fatou y Julia.
1.2.4 Ejemplos de conjuntos de Fatou y Julia no-arquimedianos.
2. La Línea de Berkovich.
2.1 La Lınea Proyectiva de Berkovich.
2.1.1 Seminormas como puntos de Berkovich.
2.1.2 Discos en la lınea afín de Berkovich.
2.1.3 Clasificación de Berkovich.
2.1.4 La lınea proyectiva de Berkovich.
2.1.5 Discos y afinoides en P1an.
2.1.6 Caminos y conectividad por caminos.
2.1.7 Direcciones y puntos de Berkovich.
2.1.8 La métrica hiperbólica.
2.2 Funciones Racionales y el Espacio de Berkovich.
2.2.1 La acción de funciones racionales.
2.2.2 Imágenes de puntos de tipo II y III.
2.2.3 Grados locales y direcciones.
2.2.4 Cálculo de grados locales.
2.2.5 Inyectividad y lugares de ratificación.
Si el tiempo lo permite se avanzará en los siguientes temas (o se impartirá un segundo curso).
3. Dinámica en la Línea de Berkovich.
3.1 Introducción a la Dinámica en el Espacio de Berkovich.
3.1.1 Conjuntos de Fatou y Julia en Berkovich.
3.1.2 Clasificación de puntos periódicos en Berkovich.
3.1.3 Buena reducción en el espacio de Berkovich.
3.1.4 Propiedades básicas del conjunto de Julia en Berkovich.
3.2 Clasificación de Componentes de Fatou en el Espacio de Berkovich.
3.2.1 Componentes de Fatou en Berkovich.
3.2.2 Componentes atractoras.
3.2.3 Componentes indiferentes.
3.2.4 Clasificación de Rivera-Letelier.
3.3 Resultados sobre Componentes Periódicos.
3.3.1 Puntos periódicos en el dominio de indiferencia.
3.3.2 Componentes indiferentes en caracterıstica mixta.
3.3.3 Contando ciclos de componentes de Fatou.
3.3.4 Infinitas componentes periódicos.
3.4 Dominios Errantes.
3.4.1 Los dominios errantes son eventualmente discos.
3.4.2 Un teorema de expansión.
3.4.3 No existencia de dominios errantes para campos p-ádicos. Un teorema.
3.4.4 Dominios errantes para funciones domesticadas.
3.4.5 Dominios errantes para polinomios domesticados.
3.5 Puntos Repulsores en el Espacio de Berkovich.
3.5.1 Lemas preliminares de puntos fijos repulsores.
3.5.2 Existencia de puntos fijos repulsores.
3.5.3 Densidad repulsora.
3.5.4 Teorema de Hsia.
3.5.5 Teorema de Bezivin.
3.6 La Medida de Equilibrio.
3.6.1 Algo sobre teoría de la medida.
3.6.2 Convergencia débil.
3.6.3 Funciones potencial.
3.6.4 El operador Laplaciano.
3.6.5 Construcción de la medida de equilibrio.
3.6.6 Alturas locales.
3.6.7 Equidistribución de puntos de pequen ̃as alturas canónicas.
Textos de referencia.
* Benedetto, R. L. Dynamics in one non-archimedean variable. Graduate Studies in
Mathematics, 198. American Mathematical Society. (
* Rivera-Letelier, J. Dynamique des fonctions rationnelles sur des corps locaux. Geomet-
ric methods in dynamics. II. Asterisque No. 287 (2003), xv, 147-
* Baker Matthew and Rumely Robert. Potential Theory and Dynamics on the Berkovich
Projective Line, volume 159 of Mathematical Surveys and Monographs. American
Mathematical Society, Providence, RI, 2010.
Evaluación. Tareas 50%. Exposición de temas 50%.
Evetualmente en YouTube
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