CCE2023
Monday, June 26, 23 at 10:01:49 PM America/Merida
Cursos
Curvas Elípticas
(Curso Virtual 2023)
Posgrado en Matemáticas UNAM
Posgrado en Matemáticas UADY
Posgrado del CIMAT Mérida
Prof: J Rogelio Pérez Buendía
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Avisos: Primera reunion el [9-08-2023] via WebEx [ ] liga
Resumen
El objetivo de este curso es introducir a los estudiantes al apasionante mundo de las curvas elípticas y las formas modulares. Estas áreas de las matemáticas han tenido un impacto significativo en la investigación matemática contemporánea, en campos que van desde la geometría algebraica hasta la teoría de números y la física teórica.
Durante este curso, los estudiantes tendrán la oportunidad de explorar los conceptos básicos de las curvas elípticas, incluyendo las ecuaciones de Weierstrass, la estructura de grupo, el teorema de Mordell-Weil y la ley de reciprocidad cuadrática. También se introducirán las formas modulares, incluyendo la definición de la función de Dedekind y la función modular de Eisenstein, así como la relación entre las formas modulares y las curvas elípticas.
El curso se dividirá en dos partes. En la primera parte, se presentarán los conceptos fundamentales de las curvas elípticas y se discutirán sus propiedades algebraicas y geométricas básicas. En la segunda parte, se abordarán las formas modulares y se explicará la relación entre estas y las curvas elípticas.
Al finalizar el curso, los estudiantes tendrán una comprensión sólida de las curvas elípticas y las formas modulares y estarán equipados para continuar su estudio en áreas de investigación más avanzadas. Este curso es esencial para los estudiantes que deseen trabajar en áreas como la geometría algebraica, la teoría de números, la física teórica y la criptografía.
Temario
- Semana 1: Curvas Planas
Puntos racionales, la ley de grupo y el teorema de Riemann-Roch.
- Semana 2: Curvas Planas (continuación)
Repaso y profundización en los temas de la Semana anterior.
- Semana 3: Propiedades Básicas de las Curvas Elípticas
La ecuación de Weierstrass, reducción módulo p.
- Semana 4: Propiedades Básicas de las Curvas Elípticas (continuación)
Curvas elípticas sobre campos p-ádicos.
- Semana 5: Repaso y Examen Parcial
- Semana 6: Propiedades Básicas de las Curvas Elípticas (continuación)
Modelos de Néron.
- Semana 7: Curvas Elípticas Complejas
Retículos y funciones doblemente periódicas.
- Semana 8: Curvas Elípticas Complejas (continuación)
Superficies de Riemann.
- Semana 9: Repaso y Examen Parcial
- Semana 10: La Aritmética de las Curvas Elípticas
Cohomología de grupos, los grupos de Selmer y de Tate-Shafarevich.
- Semana 11: La Aritmética de las Curvas Elípticas (continuación)
Alturas, el emparejamiento de Néron-Tate.
- Semana 12: La Aritmética de las Curvas Elípticas (continuación)
El principio de Hasse.
- Semana 13: Repaso y Examen Parcial
- Semana 14: Curvas Elípticas y Formas Modulares
Superficies de Riemann modulares, formas modulares y series L.
- Semana 15: Curvas Elípticas y Formas Modulares (continuación)
Observaciones sobre la demostración del último teorema de Fermat.
- Semana 16: Aplicaciones (Proyectos Finales)
Presentación de proyectos finales y conclusión del curso.
Bibliografía
- Husemöller, D. (2004). Elliptic Curves. Springer-Verlag, New York.
- Silverman, J. (1986). The Arithmetic of Elliptic Curves. Springer-Verlag, New York.
- Koblitz, N. (1993). Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. Springer-Verlag, New York.
- Silverman, J. & Tate, J. (1992). Rational Points on Elliptic Curves. Springer-Verlag, New York.
- Washington, L. C. (2008). Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography. Chapman and Hall/CRC.
- Hartshorne, R. (1977). Algebraic Geometry. Springer-Verlag, New York.
- Stein, W. (2011). Elementary Number Theory: Primes, Congruences, and Secrets. Springer-Verlag, New York.
- Cremona, J. (1997). Algorithms for Modular Elliptic Curves. Cambridge University Press.
- Milne, J. (1998). Elliptic Curves. Notes available at http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ell.html
- Diamond, F., & Shurman, J. (2005). A first course in modular forms. Springer.
Evaluación
- Tareas y participación en la clase: 20% (normalmente los estudiantes exponen algún ejercicio durante la clase)
- Examen parcial 20% Un examen a mitad del curso.
- Examen Final: 30 %
- Proyectos finales: 30% Un trabajo de investigación o aplicación que el alumno desarrollará durante el semestre y expondrá al final del curso.
Curso Virtual
El curso se desarrollará de manera Virtual usando Google Classroom y Videoconferencias por WebEx. Para mayor información contactarme a mi correo electrónico rogelio.perez@cimat.mx