Resumen

El objetivo de este curso es introducir a los estudiantes al apasionante mundo de las curvas elípticas y las formas modulares. Estas áreas de las matemáticas han tenido un impacto significativo en la investigación matemática contemporánea, en campos que van desde la geometría algebraica hasta la teoría de números y la física teórica.

Durante este curso, los estudiantes tendrán la oportunidad de explorar los conceptos básicos de las curvas elípticas, incluyendo las ecuaciones de Weierstrass, la estructura de grupo, el teorema de Mordell-Weil y la ley de reciprocidad cuadrática. También se introducirán las formas modulares, incluyendo la definición de la función de Dedekind y la función modular de Eisenstein, así como la relación entre las formas modulares y las curvas elípticas.

El curso se dividirá en dos partes. En la primera parte, se presentarán los conceptos fundamentales de las curvas elípticas y se discutirán sus propiedades algebraicas y geométricas básicas. En la segunda parte, se abordarán las formas modulares y se explicará la relación entre estas y las curvas elípticas.

Al finalizar el curso, los estudiantes tendrán una comprensión sólida de las curvas elípticas y las formas modulares y estarán equipados para continuar su estudio en áreas de investigación más avanzadas. Este curso es esencial para los estudiantes que deseen trabajar en áreas como la geometría algebraica, la teoría de números, la física teórica y la criptografía.

Temario

• Semana 1: Curvas Planas
  Puntos racionales, la ley de grupo y el teorema de Riemann-Roch.
• Semana 2: Curvas Planas (continuación)
  Repaso y profundización en los temas de la Semana anterior.
• Semana 3: Propiedades Básicas de las Curvas Elípticas
  La ecuación de Weierstrass, reducción módulo p.
• Semana 4: Propiedades Básicas de las Curvas Elípticas (continuación)
  Curvas elípticas sobre campos p-ádicos.
• Semana 5: Repaso y Examen Parcial
• Semana 6: Propiedades Básicas de las Curvas Elípticas (continuación)
  Modelos de Néron.
• Semana 7: Curvas Elípticas Complejas
  Retículos y funciones doblemente periódicas.
• Semana 8: Curvas Elípticas Complejas (continuación)
  Superficies de Riemann.
• Semana 9: Repaso y Examen Parcial
• Semana 10: La Aritmética de las Curvas Elípticas
  Cohomología de grupos, los grupos de Selmer y de Tate-Shafarevich.
• Semana 11: La Aritmética de las Curvas Elípticas (continuación)
  Alturas, el emparejamiento de Néron-Tate.
• Semana 12: La Aritmética de las Curvas Elípticas (continuación)
  El principio de Hasse.
• Semana 13: Repaso y Examen Parcial
• Semana 14: Curvas Elípticas y Formas Modulares
  Superficies de Riemann modulares, formas modulares y series L.
• Semana 15: Curvas Elípticas y Formas Modulares (continuación)
  Observaciones sobre la demostración del último teorema de Fermat.
• Semana 16: Aplicaciones (Proyectos Finales)
  Presentación de proyectos finales y conclusión del curso.

Bibliografía