Tarea 4

Resuelva los siguientes ejercicios

1. Dos dados son lanzados. Calcular la probabilidad condicional de que al menos uno cae en $6$ dado que los dados caen en diferente número. R: 1/3
2. Una urna tiene 6 bolas blancas y 9 bolas negras. Si 4 bolas son seleccionadas al azar sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que las 2 primeras sean blancas y las 2 últimas negras? R: 6/91
3. Tenemos tres urnas. La urna A tiene 2 bolas blancas y 4 rojas, la urna B tiene 8 bolas blancas y 4 rojas y la urna C tiene 1 bola blanca y 3 rojas. Si 1 bola es seleccionada de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola elegida de la urna A sea blanca dado que exactamente 2 bolas blancas fueron seleccionadas? R: 7/11
4. En una cierta comunidad, 36% de las familias tienen un perro y 22% de las familias que tienen un perro también tienen un gato. Además, 30% de las familias tienen un gato.
   • ¿Cuál es la probabilidad de que una familia elegida al azar tenga perro y gato? R: 0.792
   • ¿Cuál es la probabilidad condicional de que una familia elegida al azar tenga un perro dado que tienen un gato? R: 0.264
5. 52% de estudiantes de una escuela son mujeres. 5% de estudiantes estudian computación. 2% de los estudiantes son mujeres y estudian computación. Si un estudiante es seleccionado al azar, encuentre la probabilidad condicional de que
   • sea mujer dado que estudia computación. R: 0.4
   • estudie computación dado que es mujer. R: 1/26
6. En días lluviosos Juan llega tarde a su trabajo con probabilidad 0.3, en dias no lluviosos llega tarde con probabilidad 0.1. Sabemos que mañana lloverá con probabilidad 0.7
   • Encuentre la probabilidad de que Juan llegue tarde mañana. R: 0.76
   • Dado que Juan llegó temprano. ¿Cuál es la probabilidad condicional de que llovió? R: 49/76
7. Tres prisioneros son informados por su celador de que uno de ellos fue elegido al azar para ser ejecutado y los otros dos serán liberados. El prisionero A le pregunta al celador en privado cuál de sus compañeros será liberado, asegurando que no hay problema al divulgar la información porque ya sabe que uno de sus compañeros será liberado. El celador se niega a respoder asegurando que si A supiera cuál de sus compañeros será liberado, entonces su propia probabilidad de ser ejecutado aumentaria de 1/3 a 1/2 porque entonces el sería uno de dos prisioneros en ser ejecutado. ¿Qué piensa del razonamiento del celador?
8. Un examen de opción multiple tiene 35 preguntas. Cada pregunta tiene 4 posibles respuesta, siendo sólo una de ellas correcta. Si un alumno responde al azar cada pregunta ¿Cuál es la probabilidad de que todas sus respuestas sean correctas? R: $0.25^{35}$
9. Una máquina tiene 4 componentes ensamblados en paralelo, de tal forma que la máquina falla sólo si todos los componentes fallan. Suponga que las fallas son independientes una de la otra. Si cada componente tiene probabilidad de fallar de 0.1, 0.2, 0.3 y 0.4 cuando la máquina está encendida. ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina funcione cuando esté encendida? R: 0.9976
10. Demuestre que si $A$, $B$ y $C$ son tres eventos tales que $P(A\cap B \cap C)\neq \emptyset$ y $P(C|A\cap B)=P(C|B)$, entonces $P(A|B\cap C)=P(A|B)$.