Tarea 3

Resuelva los siguientes ejercicios

1. Sean $E$, $F$ y $G$ tres eventos. Exprese en término de operaciones de conjuntos los siguientes eventos:
   • Solo $E$ ocurre,
   • $E$ y $G$ ocurren, pero $F$ no ocurre,
   • Al menos uno de los eventos ocurre,
   • Al menos dos de los eventos ocurre,
   • Los tres eventos ocurren,
   • Ninguno de los eventos ocurre,
   • A lo más uno de los eventos ocurre,
   • A lo más dos de los eventos ocurre,
   • Exactamente dos de los eventos ocurren,
   • A lo más tres de los eventos ocurren.
2. Supóngase que $A$ y $B$ son eventos ajenos para los cuales $P(A)=0.3$ y $P(B)=0.5$. ¿Cuál es la probabilidad de que
   • $A$ o $B$ ocurra? $R:0.8$
   • $A$ ocurre pero $B$ no? $R:0.3$
   • $A$ y $B$ ocurren? $R:0$
3. En una cierta población de 100,000 personas se publican diaramente 3 periódicos: I, II y III. Las proporciones de personas que leen estos periódicos es como sigue I: 10%, II: 30%, III: 5%, I y II: 8%, I y III: 2%, II y III: 4%, I, II y III: 1%. Esto nos dice, por ejemplo, que 8000 personas leen los periódicos I y II.
   • Encuentre el número de personas que lee sólo un periódico $R:20, 000$
   • ¿Cuántas personas leen por lo menos dos periódicos? $R:12, 000$
   • Si I y III son periódicos matutinos y II es un periódico vespertino, ¿Cuántas personas leen un periódico matutino más un periódico vespertino? $R:11, 000$
   • ¿Cuántas personas no leen ningún periódico? $R:68, 000$
   • ¿Cuántas personas leen solo un periódico matutino y un periódico vespertino? $R:10, 000$
4. Un hombre tiene $n$ llaves, de las cuales solo una abre una cerradura. Si el hombre intenta abrir con cada llave, una a la vez, seleccionada de forma aleatoria de las llaves que no se probaron antes. Encuentre la probabilidad de que la $r$-ésima llave sea la llave correcta. $R:1/n$
5. Recuerden que un baraja de póquer está dividida en 4 palos, espadas, corazones, rombos y diamantes. Cada palo tiene 13 cartas numeradas como: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A. Una mano de póquer consta de 5 cartas seleccionadas aleatoriamente sin reemplazo. Calcule las probabilidades de que ocurra cada una de las siguientes manos:
   • Escalera real; 10, J, Q, K, A del mismo palo; $R:1/\binom{52}{5}$
   • Escalera de color; 5 cartas consecutivas del mismo palo; $R:36/\binom{52}{5}$
   • Póker; cartas con valores de la forma $(x,x,x,x,y)$ donde $x$ y $y$ son diferentes; $R:624/\binom{52}{5}$
   • Full; cartas con valores de la forma $(x,x,x,y,y)$ donde $x$ y $y$ son diferentes; $R:3744/\binom{52}{5}$
   • Color; Cinco cartas del mismo palo; $R:5108/\binom{52}{5}$
   • Escalera; Cinco cartas consecutivas sin importar el palo; $R:10200/\binom{52}{5}$
   • Trío; cartas con valores de la forma $(x,x,x,y,z)$, donde $x$, $y$ y $z$ son diferentes; $R:54912/\binom{52}{5}$
   • Dos pares; cartas con valores de la forma $(x,x,y,y,z)$, donde $x$, $y$ y $z$ son diferentes; $R:123552/\binom{52}{5}$
   • Par; cartas con valores de la forma $(x,x,y,z,w)$ donde $x,y,z$ y $w$ son diferentes. $R:1098240/\binom{52}{5}$
6. Una caja tiene 40 fusibles buenos y 10 defectuosos. Si se seleccionan 10 fusibles. ¿Cuál es la probabilidad de que los 10 seleccionados sean buenos? $R:38530024/466921735$
7. Un par de dados son lanzados. ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo dado caiga en un valor mayor que el primero? $R:5/12$
8. Una caja tiene 10 bolas numeradas, 1, 2, $…$, 10. Suponga que una muestra aleatoria de tamaño 3 es seleccionada. Encuentre la probabilidad de que las bolas 1 y 6 se encuentren entre las 3 seleccionadas. $R:1/15$
9. Se barajean las cartas de una baraja de póquer y se revisan una a una hasta que el primer rey salga. Encuentre la probabilidad de que esto ocurra con la $n$-ésima carta. $R:\dfrac{4(52-n)(51-n)\cdots (50-n)}{52\cdot 51 \cdot 50 \cdot 49}$
10. Un par de dados son lanzados hasta que su suma de 5 o 7. Encuentre la probabilidad de que 5 ocurra primero. Consejo: Sea $A_n$ el evento en el que 5 ocurre en el $n$-ésimo lanzamiento y no ocurre un 5 o 7 en los $n-1$ anteriores. Calcule $P(A_n)$ y argumente que $\sum_{n=1}^\infty P(A_n)$ es la probabilidad deseada. $R:2/5$