Tarea 1

Resuelva los siguientes ejercicios

1. Enuncie todos los posibles subconjuntos del conjunto de letras $\{a,b,c,d\}$.
2. Sean $A$ y $B$ los conjuntos $A=\{-6,-4,-0.5,0,1.6,8\}$ y $B=\{-0.5,0,1,2,4\}$. Encuentre
   • $A-B$,
   • $B-A$,
   • $A\cup B$,
   • $A\cap B$,
   • $A\times B$.
3. Verifique con diagramas de Venn las siguientes identidades:
   • $(\overline{A\cup B})\cap C = C-[(A\cap C)\cup (B\cap C)]$,
   • $(A\cup B \cup C)-(A\cap B \cap C) = (\overline{A}\cap B)\cup (\overline{B}\cap C) \cup (\overline{C}\cap A)$,
   • $\overline{A \cap B \cap C} = \overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C}$.
4. Use las leyes de De Morgan para probar que
   • $\overline{A \cap (B\cup C)}=(\overline{A} \cup \overline{B}) \cap (\overline{A}\cup \overline{C})$,
   • $\overline{A \cap B \cap C} = \overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C}$.
5. Sean $A=B=\{x \in \mathbb{R}|-1\leq x \leq 1\}$, es $C=\{(x,y)|x^2+y^2=1\}$ un subconjunto de $A\times B$?
6. Hallar los siguientes conjuntos
   • $\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty \left[a+\frac{1}{n}, b-\frac{1}{n}\right]$,
   • $\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty \left(a-\frac{1}{n},b+\frac{1}{n}\right)$.
7. Sean $A=\{k\in \mathbb{N}| k \leq 20\}$, $B=\{3k-1|k \in \mathbb{N}\}$ y $C=\{2k+1| k \in \mathbb{N}\}$. Determine los siguientes conjuntos
   • $A\cap B \cap C$,
   • $(A\cap B)\setminus C$,
   • $(A\cap C) \setminus B$.
8. Considere el experimento de lanzar simultaneamente un dado y una moneda y observar el valor del dado y si la moneda cae águila (A) o sol (S).
   • Describa el espacio muestral $\mathcal{S}$
   • Defina el conjunto que corresponde al evento “El dado cae en número par y la moneda en águila” y denotelo $A$
   • Defina el conjunto que corresponde al evento “El dado cae en número primo y la moneda en sol” y denotelo $B$
   • Encuentre los conjuntos $A\cup B$, $A\cap B$, $A\setminus B$, $A^c$ y $B^c$ y enuncie en palabras que evento podrían representar cada uno.
9. Considere el experimento de registrar el tiempo de vida de un componente electrónico
   • Describa el espacio muestral $\mathcal{S}$
   • Es el espacio muestral un conjunto finito o infinito?
   • Defina el conjunto que corresponde al evento “El componente tuvo un tiempo de vida mayor a 400 segundos”
   • Defina el conjunto que corresponde al evento “El componente tuvo un tiempo de vida menor a 600 segundos”
   • ¿Qué evento corresponde a la intersección de los dos eventos anteriores? ¿Qué evento representa la unión? ¿Qué evento representa la diferencia?
10. Considere el experimento de elegir un punto al azar en un cuadrado de lado $1$ unidad.
    • Describa el espacio muestral $\mathcal{S}$
    • Es el espacio muestral un conjunto finito o infinito?
    • Defina el conjunto que corresponde al evento “El punto elegido está en la parte media izquierda del cuadrado”
    • Defina el conjunto que corresponde al evento “El punto elegido está en la parte media superior del cuadrado”
    • ¿Qué evento representa la intersección de los conjuntos anteriores? ¿Qué evento representa la unión? ¿Qué evento representa la diferencia?