Ecuaciones Paramétricas de la recta y el plano

Un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable, llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro.

En particular estamos interesados en la ecuación paramétrica de la recta y el plano porque estas ecuaciones paramétricas ocurren a menudo en la solución de sistemas lineales.

Por ejemplo, consideremos en $\mathbb{R}^3$ (el espacio euclidiano de tres dimensiones) la recta $$\begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} + t\,\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

Esta ecuación se puede visualizar de la siguiente forma:

Pueden cambiar los valores del punto en la recta y del vector de dirección para observar que recta genera por cada cambio de vectores así como el desplazamiento sobre la recta de los puntos de acuerdo al parámetro $t$.

Similarmente podemos definir la ecuación paramétrica de un plano de la siguiente forma:

Entonces el plano $$\begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} + t\,\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\,\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$ tiene la siguiente representación geométrica:

Similarmente, pueden editar los valores de los vectores de dirección y observar que plano se genera a partir de ellos y del punto inicial en el plano.