Interpretación geométrica de las soluciones por método de Gauss

Recordemos que el proceso de Gauss aplicado a un sistema lineal de $m$ ecuaciones con $n$ incógnitas de la forma $(A|b)$ nos produce un sistema lineal equivalente $(U|c)$ donde $U$ es una matriz escalonada y $r$ el número de renglones no cero de la matriz $U$ es el rango de $A$.

En caso de tener $2$ o $3$ incógnitas podemos interpretar las ecuaciones y la solución como un objeto geométrico en $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^3$.

En caso de tener $2$ incógnitas y un sistema consistente con $r\leq m$, tenemos que

• El sistema tiene una única solución si $r=2$, es decir tenemos dos rectas que se intersecan en un solo punto (no son paralelas)
• El sistema tiene una infinidad de soluciones si $r=1$, en este caso tenemos dos rectas idénticas y por tanto el conjunto solución es igual a estas rectas.

Por ejemplo consideremos el sistema lineal $Ax=b$ donde $$(A|b)=\left(\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & 1\end{array}\right)$$ Este sistema es consistente y tiene solución única $x_1=5/4$, $x_2=-3/4$. Y geometricamente esto significa que el punto $(5/4,-3/4)$ es el punto de intersección de las rectas $x-y=2$ y $2x+2y=1$:

En caso de tener $3$ incógnitas y un sistema consistente tenemos más opciones:

• El sistema tiene una única solución si $r=3$, entonces tenemos tres planos que se intersecan en un solo punto.
• El sistema tiene infinitas soluciones si $r=2$, en este caso tenemos dos planos que se intersecan sobre una recta, por eso tenemos como solución una ecuación paramétrica de la forma $\mathbf{X}=\mathbf{U}+t\,\mathbf{V}$.
• El sistema tiene infinitas soluciones si $r=1$, en este caso tenemos un solo plano y por tanto la solución es ese plano, al final tenemos una ecuación paramétrica de la forma $\mathbf{X}=\mathbf{U}+t\,\mathbf{V}+s\,\mathbf{W}$.

Por ejemplo el sistema de 3 ecuaciones lineales $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 1\\ -2 & 3 & -1 & 0\\ -6 & 6 & 0 & -2\end{array}\right)$$ tiene como solución a la recta $$ \begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2/3 \\ 0 \end{pmatrix} + t\,\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$ que geometricamente se puede observar aqui: