Una matriz es un arreglo rectangular de números (reales o complejos, símbolos o expresiones) con elementos (entradas) arregladas en renglones y columnas. En este curso nos enfocaremos en matrices con entradas reales y las denotaremos con letras mayúsculas (no negritas). Por ejemplo \(A\).
Si \(A\) es un matriz de dimensión \(n\times p\), señalaremos su elemento \(ij\) como \([A]_{ij}\) o \(a_{ij}\) para \(i=1,\ldots, n, j=1,\ldots,p\).
Definición C.1 (Subespacio) Sea \(\mathcal{M}\) un espacio vectorial y sea \(\mathcal{N} \subset \mathcal{M}\). Decimos que \(\mathcal{N}\) es un subespacio de \(\mathcal{M}\) ssi \(\mathcal{N}\) es un espacio vectorial.
Se puede comprobar que \(\mathcal{N}\) es un subepacion de \(\mathcal{M}\) si es un subconjunto no vacío que es cerrado bajo la suma vectorial y multiplicación por escalares.
Sea \(\mathcal{M}\) un espacio vectorial y sea \(\boldsymbol{x}_1, \ldots, \boldsymbol{x}_r\) elementos de \(\mathcal{M}\). El conjunto de combinaciones lineales de \(\boldsymbol{x}_1, \ldots, \boldsymbol{x}_r\):
\[
\left\{v \mid v=\alpha_1 x_1+\cdots+\alpha_r x_r, \ \alpha_i \in \mathbf{R}\right\})
\] es un subespacio de \(\mathcal{M}\).
Definición C.2 (Espacio generado) Denominamos como espacio generado por \(\boldsymbol{x}_1, \ldots, \boldsymbol{x}_r\) y lo denotamos como \[ \operatorname{gen}(\boldsymbol{x}_1, \ldots, \boldsymbol{x}_r)=\left\{v \mid v=\alpha_1 x_1+\cdots+\alpha_r x_r, \ \alpha_i \in \mathbf{R}\right\}. \]
Esto es, los vectores \(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \ldots, \boldsymbol{x}_r\) de un espacio vectorial \(V\) generan a \(\mathcal{V}\), si cada vector en \(\mathcal{V}\) es una combinación lineal de \(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \ldots, \boldsymbol{x}_r\).
En particular cuando \(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \ldots, \boldsymbol{x}_r\) son linealmente independientes, se denominan como base de \(\mathcal{V}\).
Todas las bases de un espacio tienen el mismo número de vectores
La caracterización de cualquier vector es única con respecto a una base.
Si los elementos de la base son ortogonales, la base se denomina ortogonal.
Si además cada elemento de la base tiene norma igual a 1, la base se denomina ortonormal.
Teorema C.1 (Proceso de Gram-Schmidt) Sea \(W\) un subespacio no nulo de \(R^n\) con base \(S=\) \(\left\{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_m\right\}\), Entonces, hay una base ortonormal \(T=\left\{\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \ldots, \mathbf{w}_m\right\}\) para \(W\).
Definición C.3 (Rango de subespacio) El rango de un subespacio \(\mathcal{V}\) es el número de elementos de una base de \(\mathcal{V}\).
Definición C.4 (Espacio fila y Espacio Columna) Sea
\[ A=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 p} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 p} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n p} \end{array}\right] \]
una matriz de \(n \times p\). Las filas de \(A\),
\[ \begin{aligned} \boldsymbol{v}_1 &=\left(a_{11}, a_{12}, \ldots, a_{1 p}\right) \\ \boldsymbol{v}_2 &=\left(a_{21}, a_{22}, \ldots, a_{2 p}\right) \\ & \qquad \qquad \vdots \\ \boldsymbol{v}_n &=\left(a_{n 1}, a_{n 2}, \ldots, a_{n p}\right), \end{aligned} \]
consideradas como vectores en \(\mathbb{R}^p\), generan un subespacio de \(\mathbb{R}^p\), denominado el espacio fila de \(A\) (Fil(\(a\))). Análogamente, las columnas de \(A\), Col(\(A\)),
\[ \boldsymbol{w}_1=\left[\begin{array}{c} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n 1} \end{array}\right], \quad \boldsymbol{w}_2=\left[\begin{array}{c} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{n 2} \end{array}\right], \ \ldots, \ \boldsymbol{w}_n=\left[\begin{array}{c} a_{1 n} \\ a_{2 n} \\ \vdots \\ a_{n p} \end{array}\right] \]
consideradas como vectores de \(\mathbb{R}^n\), generan un subespacio de \(\mathbb{R}^n\), denominado el espacio columna de \(A\).
Definición C.5 (Rangos de una matriz) La dimensión del espacio fila de \(A\) se denomina rango fila de \(A\) y la dimensión del espacio columna de \(A\) se denomina rango columna de \(A\).
Teorema C.2 (Rango de una matriz) El rango fila y el rango columna de la matriz \(A=\left[a_{i j}\right]\) de \(n \times p\) son iguales. A esta la denotamos como rango\((A)\).
En particular nos interesa el espacio columna de una matriz \(A\) que corresponde a \[ A\boldsymbol{x}=x_1\boldsymbol{w}_n+x_2\boldsymbol{w}_n+\cdots+x_p\boldsymbol{w}_p, \] variando los valores de \(\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_p)^{\top} \in \mathbb{R}^n\).
Proposición C.1 (Rango de una matriz) Si \(A\) es una matriz \(n \times p\),
Proposición C.2 Para matrices conformables, los eigenvalores no nulos de \(AB\) son los mismos que los de \(BA\). Los eigenvalores son idénticos para matrices cuadradas.
Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de renglones y de columnas. Para estas matrices podemos realizar las siguiente definiciones.
Teorema C.3 (Sigularidad y rango) Una matriz \(A\) de \(n \times n\) es no singular (o invertible) si existe una matriz \(B\) de \(n \times n\) tal que \[ A B=B A=I_n \] La matriz \(B\) se denomina inversa de \(A\). Si no existe tal matriz \(B\), entonces \(A\) es singular (o no invertible).
Una matriz A de \(n \times n\) es no singular si y sólo si \(\operatorname{rango}(A)=n\).
Sea \(A\) una matriz de \(n \times n\). El sistema lineal \(A \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\) tiene una solución única para toda matriz \(\boldsymbol{b}\) de \(n \times 1\) si y sólo si \(\operatorname{rango}(A)=n\).
Si \(A\) y \(B\) son no singulares y de la misma dimensión
Teorema C.4 (Serie de Neumann) Si la serie \(\sum_{k=0}^{\infty} A^k\) converge, entonces \(I_n-A\) es invertible y su inversa es \[ (I-A)^{-1}=\sum_{k=0}^{\infty} A^k. \]
Definición C.6 (Traza de una matriz) La traza de una matriz cuadrada \(A\) (donde \([A]_{ij}=a_{ij}\)) se define como \[ \operatorname{tr}(A)=\sum_i a_{i i} \]
Y este mapeo tiene las siguiente propiedades:
Denotamos el determinante de una matriz cuadrada \(A\) como \(\operatorname{det}(A)=|A|\).
Geométricamente, las matrices ortogonales representan transformaciones isométricas en espacios vectoriales reales llamadas transformaciones ortogonales. Estas transformaciones son isomorfismos internos del espacio vectorial en cuestión, lo que significa que conservan la estructura del espacio vectorial, incluyendo la longitud y el ángulo entre los vectores.
En términos más específicos, una transformación isométrica es aquella que preserva la distancia entre los puntos. Por lo tanto, las matrices ortogonales mantienen las normas de los vectores y las distancias entre ellos, lo que implica que no distorsionan la geometría del espacio. Esto es de gran importancia en muchas áreas de las matemáticas y la física, así como en aplicaciones prácticas.
Estas transformaciones pueden incluir:
Estas propiedades hacen que las matrices ortogonales sean muy útiles en computación gráfica, donde se requiere manipular y transformar imágenes y modelos tridimensionales de manera precisa sin alterar sus proporciones.
Además, en áreas como el análisis de datos y la inteligencia artificial, las transformaciones ortogonales se utilizan en técnicas como el Análisis de Componentes Principales (PCA, por sus siglas en inglés) para reducir la dimensionalidad de los datos mientras se preserva la variabilidad original tanto como sea posible.
Definición C.7 (Vectores Ortogonales) Dos vectores \(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^n\) son ortogonales (perpendiculares) ssi forman un ángulo recto. Esto equivale a \(\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}^{\top}\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}^{\top}\boldsymbol{x}=0\).
Definición C.8 (Vectores Ortonormales) Dos vectores \(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^n\) son ortonormales si son ortogonales y \(||\boldsymbol{x}||=||\boldsymbol{y}||=1\)
Como \(||\boldsymbol{x}||^2=\boldsymbol{x}^{\top}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{x}\), la condición de la definición anterior se puede substituir con \(\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\cdot \boldsymbol{y}=1\).
Definición C.9 (Matriz ortogonal) Una matriz real cuadrada \(A\), \(n\times n\), se dice que es ortogonal si su tranpuesta coincide con la inversa de \(A\). Esto es, \(A^{\top}=A^{-1}\).
La definición anterior equivale a decir que \(A\) es ortogonal ssi \(AA^{\top}=I_n\).
A pesar que el nombre sugiere que la definición de ortogonalidad de una matriz está dada en términos de la ortogonalidad de sus vectores (renglones o columnas) componentes, el nombre no obedece exactamente esta cualidad.
Algunas propiedades de las matrices ortogonales son:
Proposición C.3 (Propiedades de matriz ortogonal)
Definición C.10 (Definición alternativa de matriz ortogonal) Una matriz ortogonal \(A\), \(n \times n\), es una matriz cuyas columnas y renglones son vectores ortonormales.
Debido al nombre no tan preciso de “matriz ortogonal”, alternativamente se utiliza el nombre de “matriz ortonormal”, pero el primero es todavía prevalente.
Se puede checar la equivalencia de las dos definiciones de matriz ortogonal notando que si \(\boldsymbol{v}_i\) es el \(i\)-ésimo vector renglón de \(A\), tenemos \(\boldsymbol{v}_i \perp \boldsymbol{v}_j\) y tienen norma 1 ssi \(\boldsymbol{v}_i \perp \boldsymbol{v}_j=0\), \(i\ne j\) y \(\boldsymbol{v}_k \perp \boldsymbol{v}_k=1\), \(k=i,j\). Esto es, \[ [AA^{\top}]_{ij}=\boldsymbol{v}_i\cdot \boldsymbol{v}_j= \begin{cases} 0 & \text { si } i\ne j \\ 1, & \text { si } i=j. \end{cases} \] Que equivale a \(AA^{\top}=I_n\).
Como \(B=A^{\top}\) es también ortogonal con \(i\)-ésimo renglón \(\boldsymbol{w}_i\), tenemos el caso para columnas de \(A\).
Una matriz real \(A\) se denomina simétrica ssi \(A^{\top}=A\).
Es trivial verificar que bajo ciertas operaciones la propiedad prevalece, como que la suma de matrices simétricas es también simétrica, pero bajo el producto no es necesariamente cierto.
Otros resultados son, considerando \(A\) simétrica:
Proposición C.4 (Propiedades)
Estas matrices tienen varias propiedades, entre las que se destaca:
Proposición C.5 (Eigenvalores de matrices simétricas) Si \(A\), \(n \times n\), es una matriz simétrica, todos sus \(n\) eigenvalores son reales.
Proposición C.6 Si \(A\) es simétrica entonces \(\operatorname{rango}(A)\) es igual al número de eigenvalores que no son nulos.
La Proposición C.5 no menciona que todos los eigenvalores son diferentes, pero para aquellos con multiplicidad mayor a 1 tenemos el siguiente resultado
Proposición C.7 (Eigenvectores de un mismo eigenvalor en matrices simétricas) Si \(\lambda_1,\lambda_2\), son dos eigenvalores de \(A\) que son iguales, hay dos vectores propios diferentes que corresponden al mismo valor propio. En este caso, tenemos de las infinitas opciones para vectores propios, siempre podemos elegir que sean ortogonales.
Para el espacio generado por dos eigenvectores (ie los eigenvectores son base de este) se puede obtener una base ortogonal usando el proceso de Gram-Schmidt.
Proposición C.8 (Eigenvalores y eigenvectores para matrices simétricas) Si \(A\) es una matriz simétrica, sus eigenvalores son reales y sus eigenvectores son ortogonales.
Cuando los eigenvalores son distintos, los eigenvelores son únicos con excepción de un factor de escala y signo. Por convención, cada eigenvector se define como el vector asociado a cada eigenvalor, pero con longitud 1 (\(\boldsymbol{x}_i^{\top}\boldsymbol{x}_i=1\)). Estos eigenvectores forman entonces una base ortonormal.
Teorema C.5 (Descomposición Espectral) Si \(A\), \(n\times n\), es una matriz simétrica, entonces existe una matriz ortogonal \(T=(\boldsymbol{t}_1,\boldsymbol{t}_2,\ldots,\boldsymbol{t}_n)\) tal que \(T^{\top}AT=\Lambda\), donde \(\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)\), \(\lambda_i\) son los eigenvalores de \(A\) y \(A\boldsymbol{t}_i=\lambda_i \boldsymbol{t}_i\), \(\boldsymbol{t}_i^{\top}\boldsymbol{t}_i=1\) ( \(\{\boldsymbol{t}_1,\ldots,\boldsymbol{t}_n\}\) base ortonormal de \(\mathbb{R}^n\)). La factorización \[ A=T\Lambda T^{\top} =\sum_{i=1}^n \lambda_i \boldsymbol{t}_i\boldsymbol{t}_i^{\top}. \] se denomina descomposición espectral de \(A\) pero también se conoce con el nombre de “eigen decomposition”
La descomposición espectral es fundamental en la estadística multivariada por su interpretación y la facilidad con la que pueden realizarse cálculos. Por ejemplo tenemos las siguientes propiedades
Proposición C.9 (Propiedades)
Si ninguno de los eigenvalores de \(A\) es cero (ie es invertible) entonces \[ A^{-1}=T \Lambda^{-1} T^{-1}. \]
Si además \(A\) es simétrica, entonces \(T\) es ortogonal y \(T^{-1}=T^{\top}\), entonces \[ A^{-1}=T \Lambda^{-1} T^{\top}. \] En ambos casos \(\Lambda^{-1}=\operatorname{diag}(1/\lambda_1,1/\lambda_2,\ldots,1/\lambda_n)\).
Si \(m \in \mathbb{N}\) entonces \[ A^{m} = T \Lambda^{m} T^{\top}. \]
Sea la matriz exponencial \[ \exp(A)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{A^j}{j!}, \ \ \ \text{ entonces }\ \ \ \exp(A)= T \exp(\Lambda) T^{\top}. \] La segunda expresión es fácil calcular porque \(\exp(\Lambda)\) es una matriz diagonal con elementos \([\exp(\Lambda)]_{ii}=\exp(\lambda_i)\).
Proposición C.10 Una matriz simétrica \(A\), de orden \(n\) y rango \(r\), se puede escribir como \(L L^{\top}\) donde \(L\) es matriz de \(n \times r\) y rango \(r\) (i.e. \(L\) tiene rango completo de columnas).
Proposición C.11 Sea \(c\in \mathbb{R}\), \(A\), \(n\times n\) matriz y si los eigenvalores de \(A\) son \(\{\lambda_i\}\), entonces los eigenvalores de \(I_n+cA\) son \(\{1+c\lambda_i\}\).
La descomposición espectral es uno de los teoremas de descomposición que se utlizan ampliamente en estadística y algoritmos computacionales. La siguiente descomposición generaliza la espectral ya que en este caso no solo \(A\) puede no ser simétrica, sino que no es necesario que sea cuadrada.
Teorema C.6 (Descomposición en Valores Singulares -SVD-) Sea \(A\) una matriz \(m \times n\) rectangular de rango \(r \leq min\{m,n\}\). Entonces, \[ \underset{m \times n}{A}=\underset{m\times m}{U}\ \ \underset{m \times n}{\Sigma}\ \ \underset{n\times n}{V^{\top} } \]
donde \(U^{\top} U = I_m\), \(V^{\top} V = I_n\), y \(L=\operatorname{diag}\left(\sigma_1, \cdots, \sigma_r\right), \sigma_i>0\).
Ya que \(U^{\top} U = I_m\), tenemos que \(U\) es una matriz con columnas ortogonal. Por otro lado, sus columnas son los vectores singulares izquierdos de \(A\). Estos son los eigenvectores de \(AA^{\top}\).
Similar a \(U\), \(V\) es una matriz con columnas ortogonales. Sus columnas son los vectores singulares derechos de \(A\) y corresponden a los eigenvectores de \(A^{\top}A\). Los vectores singulares derechos representan las direcciones principales en el espacio de las columnas de \(A\).
\(\Sigma\) es una matriz con los valores singulares de \(A\) en la diagonal ordenados de mayor a menor. Los valores singulares de \(A\) son no negativos corresponden a las raíces cuadradas de los eigenvalores de \(A^{\top}A\) y \(AA^{\top}\).
Las propiedades anteriores están muy relacionadas la hecho que \(A^{\top}A\) y \(AA^{\top}\) son matrices simétricas y positivas definidas.
Definición C.11 (Definiciones) Una matriz cuadrada \(A \in \mathbb{R}^p\) se denomina
Proposición C.12 (Equivalencias) Si \(A\) es simétrica, las siguientes afirmaciones son equivalentes:
Usando estas equivalencias entonces se pueden demostrar otras propiedades como la siguiente:
Proposición C.13 (Propiedad sobre la propiedad de ser positiva definida) Si \(A\) es positiva definida, entonces \(A^{-1}\) también es definida positiva.
Teorema C.7 (Descomposición de Cholesky) Si \(A\) una matriz simétrica es definida positiva ssi tiene una descomposición de Cholesky \(A=R^{\top}R\) donde \(R\) es triangular superior y con elementos en la diagonal estrictamente positivos.
Proposición C.14 (Raiz de matriz definida positiva) Si \(A\) simétrica y definida positiva, existe una matriz \(B\) tal que \(B\) es también definida positiva y \(B^2=A\). Denotamos \(B=A^{1/2}\).
Definición C.12 (Complemento ortogonal) Sea \(\mathcal{V}\) un subespacio de \(\mathbb{R}^n\). Un vector \(\boldsymbol{u}\) en \(\mathbb{R}^n\) es ortogonal a \(\mathcal{V}\) si es ortogonal a cada vector de \(\mathcal{V}\). El conjunto de vectores en \(\mathbb{R}^n\) que son ortogonales a todos los vectores de \(\mathcal{V}\) se llama el complemento ortogonal de \(\mathcal{V}\) en \(\mathbb{R}^n\) y se denota \(\mathcal{V}^{\perp}\) (se lee ” \(\mathcal{V}\) ortogonal”, ” \(\mathcal{V}\) perp”, o “complemento ortogonal de \(\mathcal{V}\)”).
Teorema C.8 (Propiedades Complemento ortogonal) Sea \(\mathcal{V}\) un subespacio de \(\mathbb{R}^n\). Entonces
Teorema C.9 (Descomposición ortogonal de un vector) Dado \(\boldsymbol{u}\), un vector en un subespacio \(\mathcal{V}\) de \(\mathbb{R}^n\), cada vector \(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R}^n\) se puede expresar en forma única de la forma \(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}_\mathcal{V}+\boldsymbol{y}_{\mathcal{V}^{\perp}}\), where \(\boldsymbol{y_\mathcal{V}} \in \mathcal{V}\) y \(\boldsymbol{y}_{\mathcal{V}^{\perp}} \in \mathcal{V}^{\perp}\). Esta se denomina la descomposición ortogonal de \(\boldsymbol{y}\) con respecto a \(\mathcal{V}\). Este resultado también se denota como \[ \mathbb{R}^n=\mathcal{V}\oplus\mathcal{V}^{\perp}. \]
Tenemos que \(\boldsymbol{y}_\mathcal{V}\) es el vector más cercano a \(\boldsymbol{y}\) en \(\mathcal{V}\).
Definición C.13 (Idempotencia) Una matriz \(P\) se llama idempotente si \(P^2=P\).
Definición C.14 (Eigenvalores de matriz idempotente) Todos los eigenvalores de una matriz idempotente \(P\) son ceros o unos.
La demostración se deja como ejercicio.
Corolario C.1 (Rango matriz idempotente y simétrica) Sea \(A\) una matriz simétrica, \(n \times n\). \(A\) es idempotente de \(\operatorname{rango}(A)=r\) ssi \(A\) tiene \(r\) eigenvalores iguales a 1 y \(n-r\) eigenvalores iguales a 0.
Definición C.15 (Matriz de Proyección) Supongamos que \(X\) es \(n \times p\) de rango \(p\). Sea \(\mathcal{L}=\mathcal{C}(X)\), el espacio de columnas de \(X\). Decimos que \(P\), \(n \times n\), es la matriz de proyección sobre \(\mathcal{L}\) si se cumplen:
El punto 1. nos dice que si \(P\) es una proyección sobre un subespacio \(\mathcal{L}\), esta deja inalterados los vectores que ya están sobre \(\mathcal{L}\), por lo que \(P^2\boldsymbol{u}=P(P\boldsymbol{u})=P\boldsymbol{u}\), es decir que \(P\) debe ser idempotente.
\(P\) es una aplicación lineal que en términos ópticos y geométricos, da la “sombra” de un vector sobre una recta o un plano o sus generalizaciones \(n\)-dimensionales cuando los rayos de luz son ortogonales o perpendiculares a ellos. Hay otras proyecciones que sirven para representar sombras oblicuas pero son matemáticamente menos importantes y no se consideran en este curso.
Definición C.16 (Matriz de proyección) Una matriz \(P_{n \times n}\) se dice que es de proyección si es idempotente.
El complemento de \(P\), \(P^c:=I-P\), es también una proyección ya que
\[ \left(P^c\right)^2=(I-P)(I-P)=I-2 P+P^2=I-P=P^c. \]
En particular, una proyección es ortogonal si \(P^{\top} P^c=P^{\top}(I-P)=0\). En ese caso, las dos componentes son ortogonales \(\boldsymbol{u}^{\top} P^{\top} \cdot P^c \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}^{\top} P^{\top}(I-P) \boldsymbol{u}=0\) ssi \(P^{\top}=P\).
En ese caso \(P^c\) es la proyección en el complemento ortogonal, por lo que \(\boldsymbol{u} = P\boldsymbol{u} + P^c\boldsymbol{u}\).
Otra propiedad que se tiene es Si \(P\) es proyección ortogonal, \(\|\boldsymbol{u}\|^2=\|P \boldsymbol{u}\|^2+\left\|P^c \boldsymbol{u}\right\|^2\).
Proposición C.15 (Proyección en el espacio generado por columna de \(X\)) Sea \(X\) una matriz \(n\times p\) con \(\operatorname{rango}(X)=p\). Consideramos la matriz \[ P=X\left(X^{\top} X\right)^{-1} X^{\top}. \] \(P\) satisface las condiciones de proyección ortogonal y proyecta sobre el espacio generado por las columnas de \(X\) \(\left(\,\mathcal{C}(X)\,\right)\).
Proposición C.16 (Unicidad de la Proyección ortogonal) Dada una matriz \(X\) de rango \(p\), la proyección ortogonal en \(\mathcal{C}\) es única.
Proposición C.17 (Relación entre Rango y Traza de una matriz de proyección) Para cualquier matriz idempotente \(A\), \(\operatorname{tr}(A)=\operatorname{rango}(A)\).
El rango de una matriz \(A\) simétrica e idempotente, es la dimension de \(\mathcal{C}(A)\) que es el espacio en el que \(A\) proyecta.
Proposición C.18 (Suma de proyecciones ortogonales) Sean \(P_1\) y \(P_2\) dos matrices de proyecciones ortogonales en \(\mathbb{R}^n\). \(\left(P_1+P_2\right)\) es una matriz de proyección ortogonal en \(\mathcal{C}\left(P_1, P_2\right)\) ssi \(\mathcal{C}\left(P_1\right) \perp \mathcal{C}\left(P_2\right)\).
Proposición C.19 (Descomposición en proyecciones ortogonales) Si \(P_1\) y \(P_2\) son simétricas, \(\mathcal{C}\left(P_1\right) \perp \mathcal{C}\left(P_2\right)\), y \(\left(P_1+P_2\right)\) es una matriz de proyección ortogonal, entonces \(P_1\) y \(P_2\) son matrices de proyección ortogonales.
Proposición C.20 (Diferencia de matrices de proyección ortogonal) Sean \(P\) y \(P_0\) matrices de proyección ortogonales con \(\mathcal{C}\left(P_0\right) \subset \mathcal{C}(P)\). Entonces \(P - P_0\) es una matriz de proyección ortogonal.
Sea \(P\) y \(P_0\) matrices de proyección ortogonales con \(\mathcal{C}\left(P_0\right) \subset \mathcal{C}(P)\). Entonces \(\mathcal{C}\left(P - P_0\right)\) es el complement ortogonal de \(\mathcal{C}\left(P_0\right)\) con respecto a \(\mathcal{C}(P)\). Esto es, \(\mathcal{C}\left(P - P_0\right)=\mathcal{C}\left(P_0\right)_{\mathcal{C}(P)}^{\perp}\).
Proposición C.21 (Descomposición de rangos) Sea \(P\) y \(P_0\) matrices de proyección ortogonales con \(\mathcal{C}\left(P_0\right) \subset \mathcal{C}(P)\), entonces \[ \operatorname{rango}(P)=\operatorname{rango}\left(P_0\right)+\operatorname{rango}\left(P-P_0\right). \]
Bibliografía: