XI Escola de Verão em Matemática - Universidade Federal de Sergipe
Taller de Control Óptimo
Héctor A. Chang-Lara - CIMAT Guanajuato
Las ecuaciones de Hamilton-Jacobi son ecuaciones en derivadas parciales completamente no lineales motivadas en problemas de cálculo de variacional. Por ejemplo, la distancia a un conjunto dado es la solución de la ecuación eikonal |Du|=1. Estas ideas muestran una importante conexión entre la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Entre las disciplinas clásicas que encuentran aplicaciones están la optimización, mecánica clásica, sistemas dinámicos, geometría diferencial, probabilidad y algoritmos. Algunas áreas de investigación actuales incluyen los problemas de frontera libre, la teoría de transporte óptimo y los juegos de campo medio.
Agradezco enormemente a los organizadores de la escuela, Disson Soares dos Prazeres, Makson Santos y especialmente a (Clea) Pêdra Andrade quien me ayudo a traducir las notas al portugués y apoyó en el diseño y resolución de varios de los ejercicios propuestos en las notas.
Referencias
- Craig Evans, Partial Differential Equations. AMS 2015.
- Vladimir Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics. Springer 1989.
- Craig Evans, An Introduction to Mathematical Optimal Control Theory.
|
Programación dinámica: Abordamos el tratamiento matemático para resolver laberintos. Esta versión discreta presenta de forma sencilla alguna de las ideas fundamentales detrás de la conexión entre las ecuaciones diferenciales ordinarias y las ecuaciones de Hamilton-Jacobi por medio de un problema de optimización. |
|
Óptica geométrica: El Principio de Fermat modela la luz como partículas cuyas trayectorias minimizan el tiempo de viaje, siendo la rapidez una constante determinada por el medio. En esta clase queremos encontrar la trayectoria que conecta una dada fuente de luz con un punto arbitrario del espacio. |
|
El método de las características: Las ecuaciones diferenciales ordinarias \(x' = v(x)\) guardan importantes relaciones de equivalencia con ecuaciones parciales de la forma \(v(x) \cdot Du(x)=f(u,x)\). En esta clase exploramos cantidades conservadas y leyes de conservación que nos ayudan a entender dicha relación. |
|
Cálculo variacional: Abordamos el problema de optimización de funcionales desde dos perspectivas. La primera, conocida como el punto de vista Lagrangiano caracteriza los puntos críticos por medio de las ecuaciones de Euler-Lagrnage y Hamilton. La segunda es el enfoque Euleriano y está basado en el principio de programación dinámica el cual lleva a las ecuaciones de Hamilton-Jacobi-Bellman. |
|
El método de las características no lineal: Vemos como deducir el sistema de ecuaciones características para la EDP \(\partial_t u + H(Du,x)=0\). |
|
Ejemplos: |