EMALCA 2021 - Universidad Juárez Autónoma de Tabasco
Taller de Ecuaciones Diferenciales Parciales Elípticas
Héctor A. Chang-Lara - CIMAT Guanajuato
Presentamos el análisis de ecuaciones diferenciales elípticas a partir de la construcción de soluciones viscosas. Esta teoría de soluciones débiles basada en el principio del máximo encuentra conexiones con geometría diferencial (problema de Minkowski), probabilidad (control estocástico) y transporte óptimo (ecuación de Monge-Ampére). En particular, cada una de estas disciplinas ha presentado enfoques muy enriquecedores en el desarrollo de esta rama del análisis. Esperamos que al finalizar este taller los participantes tengan las herramientas para convertirse en usuarios de estos resultados o bien sean actores en el desarrollo y resolución de muchos de los problemas abiertos hoy en día.
Referencias
- Sandro Salsa. Partial Differential Equations in Action. Springer 2008.
- Jeff Calder. Lecture Notes on Viscosity Solutions. 2018.
- Luis Caffarelli, Xavier Cabré. Fully Nonlinear Elliptic Equations. AMS 1995.
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El Problema del Barrendero: Un barrendero tiene la tarea de limpiar una región teselada por baldosas cuadradas en el plano. Sin importar en que order lleva a cabo su tarea siempre encuentra la misma distribución final de masa alrededor de la región que barre. En esta clase vemos una demostración de este resultado y a la vez iremos aprendiendo algunas de las propiedades fundamentales del Laplaciano. |
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El Problema de Dirichlet: Demostramos la existencia y unicidad de funciones armónicas con un dato de borde prescrito usando el método de Perrón. |
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Soluciones Viscosas: Inspirado por el principio de comparación damos una definición de soluciones débiles para ecuaciones elípticas. |
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Principio de Comparación: Demostramos el principio de comparación para soluciones viscosas por medio de la regularización de Jensen. Gracias a esto podemos extender el método de Perrón para soluciones viscosas, estableciendo así la existencia y unicidad de soluciones viscosas de problemas elípticos. |
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Un Vistazo al Análisis de EDPs Elípticas: Presentamos algunos modelos y aplicaciones relevantes a la teoría de ecuaciones elípticas y de primer orden. Damos un recorrido por algunos de los resultados más significativos de los siglos XX y XXI y comentamos sobre algunos de los problemas abiertos hoy en día. En esta nota damos abundantes referencias con carácter pedagógico. |