Departamento de Matemáticas, CIMAT y Universidad de Guanajuato
Ecuaciones Diferenciales Parciales
Instructor: Héctor A. Chang-Lara (hector.chang@cimat.mx)
Ayudantes: Leslie Quincosa (leslie.quincosa@cimat.mx) y Sergio Zapeta (sergio.zapeta@cimat.mx).
Salón: DEMAT 5.
Horario: Lunes, miércoles y viernes de 9:30 a 10:50.
Foro: https://classroom.google.com/c/NTM2NjE0Mjk0NjYw?cjc=bynhve7
Descripción:
Las ecuaciones diferenciales parciales (EDPs) son modelos matemáticos que describen la configuracion y/o evolución de un sistema en función de sus derivadas parciales. El curso se enfoca en los siguientes tres aspectos:
- Modelación
- Métodos para calcular soluciones explícitamente
- Análisis cualitativo y cuantitativo de las soluciones
En este curso, típico del 5to semestre en el DEMAT-UGto, no asumiremos nociones de análisis real (5to semestre).
Una hermosa invitación a las EDPs por Grant Sanderson, But what is a partial differential equation?
Referencias:
- Jeffery Cooper.
Introduction to Partial Differential Equations with MATLAB.
Springer 1998 - L. Craig Evans.
Partial Differential Equations. 2da ed.
AMS 2010 - Sandro Salsa.
Partial Differential Equations in Action: From Modelling to Theory. 2da ed.
Springer 2015 - Walter A. Strauss.
Partial Differential Equations: An Introduction.
Wiley 1992
Referencias complementarias:
- Vladimir Arnold.
Lectures On Partial Differential Equations.
Springer 2004 - Peter Markovich.
Applied Partial Differential Equations: A visual Approach
Springer 2007 - Sandro Salsa y Gianmaria Verzini.
Partial Differential Equations in Action: Complements and exercises.
Springer 2015
Videos:
Evaluación:
La metodología de evaluación, basada en Mastery Grading, implica a su vez estrategias de aprendizaje y enseñanza no tradicionales. Para poder aprobar el curso (mínimo de siete puntos) los estudiantes deberán haber aprobado todas las tareas y satisfacer cada uno de los siguientes objetivos:
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1. Método de las características y leyes de conservación: Establecer las ecuaciones cuasi-lineales para los observables de un sistema de EDOs. Proponer y de ser posible integrar las ecuaciones características de una EDP cuasi-lineal de primer orden. |
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2. Métodos numéricos: Implementar numéricamente los método de diferencias y elementos finitos de una dada EDP. Transformada discreta de Fourier. |
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3. Separación de variables y métodos espectrales: Reducir una EDP con suficientes simetrías a un problema Sturm-Liouville. Series de Fourier, funciones de Bessel y funciones esféricas armónicas. |
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4. Fórmulas de representación: Fórmulas de Gauss-Green. Propiedad del valor medio. Potencial de Newton y núcleo del calor. Fórmula de D'Alembert, Poisson y Kirchhoff. Método del descenso. Soluciones fundamentales (Green), núcleo de Poisson y el principio de Duhamel. Transformada de Kelvin y método de las imágenes. |
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5. Métodos variacionales: Dar las ecuaciones de punto crítico de un funcional variacional (Euler-Lagrange). Restricciones funcionales, multiplicadores de Lagrange y desigualdades variacionales. Cociente de Rayleigh. Flujos gradientes. |
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6. Principio de comparación: Principios del máximo, unicidad de soluciones. Métodos iterativos (Perrón, balayage, Schwarz). |
Para demostrar el conocimiento de estos temas se llevarán a cabo tres evaluaciones durante el semestre (tentativamente en las semanas 5, 10 y finales). La calificación solamente tomará en cuenta la más reciente actividad donde se manifieste dominio del tema. El manejo del objetivo debe ser absoluto y no parcial. Por otro lado, no se penalizarán ni promediaran intentos fallidos o incompletos.
Entre los temas tentativamente contemplados en este curso, pero que no están incluídos en los objetidos principales están (también podrían ser tomados como proyectos por parte de los estudiantes):
- Teorema de Frobenius.
- Teorema de Liouville.
Evans, cap. 2.2.3. - Conexión con la teoría de funciones holomorfas.
- Teorema de Cauchy–Kowalevski.
Evans, cap. 4.6.3. - Conexión con modelación estocástica: Caminata aleatoria, movimiento Browniano, método de Monte Carlo.
Salsa, cap. 2.4-6, 3.4. - Regularidad de soluciones: Lema de Weyl, Desigualdad de Harnack, método de Bernstein, estimados de Schauder para el Laplaciano.
- Ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman: Principio de programación dinámica y principio de Pontryagin.
Evans, cap. 3.3, 10.
Para alcanzar una calificación mayor a 7/10 es un requisito necesario que el estudiante aprueba todas las tareas y domine los objetivos. Los siguientes tres puntos se evaluarán con un proyecto individual o en parejas. La revisión del proyecto se llevará a cabo individualmente (posiblemente acompañado de una entrevista) en las últimas semanas del semestre y consistirá de los puntos dados a continuación:
- Anteproyecto: 3-5 páginas en formato digital (Latex/Word). Cuidando las reglas de presentación, ortografía, gramática, discusión de trabajos previos y adecuado uso de referencias. El anteproyecto es requisito necesario para seguir adelante con los demás aspectos del proyecto. Debe ser presentado a más tardar en la semana 4.
- Trabajo escrito (2 puntos): 10-15 páginas en formato digital (Latex/Word). Cuidando las reglas de presentación, ortografía, gramática, introducción, discusión de trabajos previos, adecuado uso de ejemplos, ilustraciones, definiciones, enunciados de teoremas, lemas y corolarios, ideas detrás de las demostraciones, demostraciones formales, conclusiones y referencias. También recomendamos, en caso de que el proyecto lo amerite, incluir una implementación numérica.
- Presentación grabada (1 punto): 15-20 min. Cuidando la dicción, iluminación, sonido, presentación, ortografía, gramática, introducción, adecuado uso de ejemplos, ilustraciones y manejo del pizarrón de ser el caso.
Es requisito para aprobar no tener más de tres inasistencias injustificadas. Se consideran inasistencias injustificadas llegar más de 5 minutos tarde al salón.
Cualquier estudiante con una discapacidad debe ponerse en contacto con el instructor y así adaptar el plan a sus necesidades.