Solución al problema avanzado num 9
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(por Ricardo Arturo Espinoza Reyes, Aguascalientes).


La idea de la demostracion es que el numero de CIFRAS del numero,
escrito en la base, va ir disminuiendo durante el juego (a pesar que
el valor del numero va aumentando), y que al llegar tener una sola
cifra el valor del numero va a bajar rapidamente a 0.

Ahora veamos la demostracion en detalle.

En cualquier momento del juego, denotamos por m el numero de cifras
del numero N, escrito en la base b, por a0 el valor de la última
cifra, a1 el de la penúltima, a2 el de la
antepenúltima,... etc. .

Sabemos que el valor de "m" nunca puede aumentar, pues incrementar la
base no altera el número de cifras, pero restar 1 sí puede
disminuírlo.

Al principio del juego, el conejo va a elegir el valor de "N" y de
"b", y consecuentemente, quedarán definidos los valores de "m",
"a0", "a1", ... "am".

Luego, la tortuga va a disminuír en una unidad el valor de "a0" por
cada turno, luego pues, después de a0 turnos, a0 = 0.

En el siguiente turno de la tortuga, al restar 1, será el valor de
"a1" el que disminuya una unidad, y "a0" tomará un valor igual a 1
unidad menor que el valor de "b" en ese momento, el cual no nos
importa, pues es finito, y después de cierto número de turnos,
a0 volverá a ser igual a cero, y el valor de "a1" volverá a
disminuír en una unidad y se repite el proceso.

Como cada uno de esos ciclos implica un número finito de turnos y
además depués de cada ciclo el valor de "a1" disminuye una
unidad, y el valor original de "a1" era por supuesto un número
finito, entonces llegará el momento en que a1 = 0.

Entonces, a2 disminuirá en una unidad su valor, y tanto "a1" como
"a0" volverán a adquirir valores muy grandes pero
finitos. Entonces, todo el proceso anterior habrá de repetirse una
y otra vez hasta que "a2" llegue a valer cero, y entonces
disminuirá "a3", y así sucesivamente.

Paulatinamente, "a4", "a5",.... "am" repetirán el mismo proceso
hasta que "am" llegue a valer cero, lo que significa que el número
N escrito en base "b" (cuyo valor será enorme para este momento)
tendrá una cifra menos que al principio, es decir que "m"
disminuyó en 1.

De esta forma, el número de cifras irá disminuyendo, hasta que m
= 1, y entonces N = a0.

Como el valor de N ya no va a depender de la base, sino solamente de
su única cifra, la cual está disminuyendo, entonces N va a
empezar a disminuír en una unidad por cada turno de la tortuga, sin
alterarse en los turnos del conejo, así que definitivamente
llegará a ser 0.