SOLUCION DE PROBLEMA 4 (“AVANZADO”)

LUIS SILVESTRE (ARGENTINA)

Voy a resolver el problema para un número arbitrario (n) de puntos sobre el círculo unidad. El motivo de esto es que 17 no tiene nada de particular y me da el mismo trabajo probarlo en general.

Primero voy a calcular el producto de todas las distancias entre los vértices de un n-ágono regular. Para esto voy a usar números complejos (cada número representa un punto en el plano complejo).

Las n raíces del polinomio x^{n} − 1 forman un polígono regular de n vértices y todos están en la circunferencia unidad. Es decir que me sirve para hacer la cuenta. Sean z_{1}, …, z_{n} las raíces de x^{n} − 1 con z_{1} = 1. El producto de todas las distancias a z_{1} es igual a

∏_{2≤i≤n} |1 − z_{j}| = | ∏_{2≤i≤n} (1 − z_{j})| .

Pero

∏_{2≤i≤n} (x − z_{j}) = (x^{n} − 1)/(x − 1) = x^{n} + x^{n−1} + ⋯ + 1.

Por lo tanto:

∏_{2≤i≤n} |1 − z_{j}| = | ∏_{2≤i≤n} (1 − z_{j})| = 1^{n} + 1^{n−1} + ⋯ + 1 = n.

Por lo tanto, el producto de todas las distancias entre un vértice dado y los demás es n. Multiplicando esto n veces (una por cada vértice) y teniendo en cuenta que a cada distancia la estoy multiplicando dos veces (una vez por cada extremo), me queda que el producto de todas las distancias es (n^{n})^{1/2} = n^{n/2}

Ahora voy a probar que este valor es efectivamente el máximo.

Sean z_{1}, z_{2}, …, z_{n} los n vértices. Entonces el producto de todas las distancias, que llamaré p(z_{1}, …, z_{n}), es igual a

p(z_{1}, …, z_{n}) = ∏_{1≤i<j≤n} |z_{i} − z_{j}| = | ∏_{1≤i<j≤n} (z_{i} − z_{j})|

Pero esto es casualmente la fórmula del determinante de la matriz de Vandermonde:

p(z_{1}, …, z_{n}) = |det (\begin{matrix}1 & 1 & … & 1 \\ z_{1} & z_{2} & … & z_{n} \\ … & … & … & … \\ z_{1}^{n−1} & z_{2}^{n−1} & … & z_{n}^{n−1} \end{matrix})| = |det(V)| ,

Date: 5 Oct. 99.

donde V es la matriz de Vandermonde. Sean s_{1}, s_{2}, …, s_{n} los valores singulares de V. Entonces p = |∏ s_{i}|.

Usando la norma 2 de la matriz, ∥V ∥_{2} = tr(V^{∗}V), tenemos:

∑ |s_{i}|^{2} = ∥V ∥_{2} = ∑_{i,j} |V_{ij}|^{2} = n^{2},

porque todos los V_{ij} tienen módulo 1.

Se sabe que la media geométrica de n números positivos no es mayor que la media cuadrática. Aplicando esto a los valores singulares:

\sqrt[n]{∏ |s_{i}|} ≤ (\frac{∑ |s_{i}|^{2}}{n} )^{1/2} = n^{(1/2)}.

Por lo tanto:

p(z_{1}, …, z_{n}) = |det(V)| = ∏ s_{i} ≤ n^{(n/2)}.

En particular, cuando n=17, el valor máximo es 17^{17/2}.

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