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Centro de Investigación en Matemáticas,
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Rincón de Problemas -
Avanzados


  1. (Dic. 15, 1997) Se dice que una función de dos variables f(m,n), con m,n números enteros, es armónica, si su valor en cada punto (m,n) es el promedio de sus valores en los 4 vecinos más cercanos:

    f(m,n)=[f(m+1,n)+ f(m-1,n)+ f(m,n+1)+ f(m,n-1)]/4,

    para todos enteros m,n. Se dice que una función f es acotada si existe un número positivo M tal que el valor absoluto de f(m,n) es menor que M, para todos enteros m,n. Demuestra que una función armónica acotada es constante.

    Solución: PDF | PS.

  2. (Ene. 30, 1998)

    problema2.gif

    Solución

  3. (Feb. 16, 1998, contribuido por José Luz Hernandez Castillo de la UNAM.) Calcular el límite

    limx→ 0 [x-sen(x)]/x3

    por métodos elementales, ie sin usar cálculo diferencial (derivadas, l'Hospital, serie de Taylor...).

  4. (Mar. 16, 1998) Dados 17 puntos sobre un círculo de radio 1 considera el producto de todas las distancias entre pares de puntos entre estos puntos. Demuestra que este producto está maximizado por el polígono regular (de 17 vértices), y encuentra este valor maximal.

    Solución: DVI | PostScript

  5. (Apr. 23, 1998) Demuestra lo siguiente: en cualquier momento existen 3 puntos en la tierra que forman los vértices de un triángulo equilátero con la misma temperatura en los 3 puntos (suponiendo que la temperatura es una función continua de la tierra -- una esfera -- a los números reales).

  6. (Sept 11, 1998) Considera a todos las sucesiones de n números naturales positivos (a1 , a2 , . . . , an), tales que la suma de sus recíprocos satisface

    1/a1 + 1/a2 + . . . + 1/an = 1.

    Denota al número de tal sucesiones por An. Por ejemplo, A1 = A2 = 1, y A3 = 10, dado por (3,3,3), (2,4,4), (2,3,6), y permutaciones de los últimos dos. Decide si A10 es par o impar.

  7. (Nov 9, 1998) Un polinomio p(x) al dividirlo entre x-a da un resíduo de a, al dividirlo entre x-b da un resíduo de b, y al dividirlo entre x-c da un resíduo de c. Encuentra el resíduo al dividir p(x) entre (x-a)(x-b)(x-c).

    Solución

  8. (Nov 27, 1998) Dado un número complejo a con |a|>1 y un entero positivo n, encuentra un polinomio p(z) de grado n que sea "la mejor aproximacion" de la funcion f(z) = 1/(z-a) en el disco unitario, en el sentido siguiente: define la distancia entre dos funciones (acotadas) f y g, definadas en el disco unitario {|z| <= 1}, por

    ||f-g|| = sup { |f(z)-g(z)| | |z| <= 1},

    y lo que pedimos es un polinomio que minimiza la distancia a f, entre todos los polinomios de grado n.

  9. (Abr 15, 1999) El conejo y la tortuga juegan el siguiente juego: La tortuga gana si en algun momento queda 0. Si no, gana el conejo. Demuestra que la tortuga siempre gana.

    Solución

  10. (agsto 18, 2000. Contribucion de Luis Valdez, valdez@math.utep.edu) Decimos que un punto p dentro de un triangulo T tiene multiplicidad m si existen exactamente m rectas que pasan por p y dividen a T en pedazos de areas iguales. Por ejemplo, el baricentro de T tiene multiplicidad 3.
    1. Demostrar que la multiplicidad de cualquier punto de T es 1, 2 o 3.
    2. Describir geometricamente el locus de todos los puntos de T con cada una de las multiplicidades posibles.

  11. (marzo 29, 2004) En un conjunto finito no vacio X tenemos dados unos subconjuntos. Cada uno de los subconjunto tiene un numero impar de elementos, y cada par de estos subconjuntos tiene un numero par de elementos en comun (no cero). Determina el maximo numero posible de elementos en X.

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