Representaciones de grupos de Lie: ene-mayo 2020

Contenido:

Por ejemplo: para determinar el espectro (niveles de energía) del átomo de hidrógeno se usa la teoría de representaciones del grupo de matrices ortogonales 3 por 3. Otro ejemplo: ¿existe un cuerpo en R³, más que la esfera, tal que todos sus "sombras" (proyecciones a R² iluminandolo por rayos de luz paralelos) tienen el mismo área? Otro: un día Pepe distrubuye los números de 1 hasta 6 en las 6 caras de un cubo y entrega el cubo a Chucho. El día siguiente Chucho toma el cubo y substituye cada número por el promedio de los números que aparecen en las 4 caras vecinas y regresa el cubo a Pepe. El tercer día Pepe hace lo mismo (substituye el nuemro en cada cara con el promedio de los 4 adyacentes) y entrega el cubo a Chucho. Y así siguen alternando. Pregunta: ¿después de un mes, qué números se encuentran escritos sobre las caras del cubo? (se usa la teoría de representaciones del grupo simétrico de 4 letras).

(Los últimos 2 ejemplos son del libro de Kirillov).

Otra característica atractiva del tema es que los pre-requisitos son muy pocos para poder disfrutar y aprobechar de los primeros resultados no triviales de la teoría. Al incio del curso se necesita un poco de teoría de grupos (no mucho más que la definición de grupo y unos ejemplos) y álgebra lineal (nivel licenciatura). Después, los pre-requisitos principales son algo de geometría/topología (conocer la definición+ejemplos de variedad diferencial ayuda pero no es obligatorio).

Temario tentativo: Representaciones y caracteres de grupos finitos; grupos de Lie compactos; las representaciones de algunos grupos "claves" (SO(3), SU(2), U(n),...); el teorema de Peter-Weyl; la descomposición de las representaciones "tensoriales" de los grupos clásicos; el ''truco unitario'' de Weyl; algunas representaciones importantes de dimensión infinita (eg de SL(2,R)); aplicaciones de la teoría de representaciones a matemática física (eg funciones especiales y ecuaciones diferenciales).

1. J. -P. Serre, Linear representations of finite groups | PDF
2. Naimark y Stern, Theory of Group representations | DJVU (15MB)
3. Kirillov, Elements of the theory of representations | DJVU
4. Fulton y Harris, Representation Theory: A First Course | Todo (DJVU, 4MB) | 1era parte + bibliografia + indice (PDF, 5MB)
5. Notas de un curso de teoria de representaciones en UC Berkeley, por Vera Serganova.
6. C. Greene, A. Nijenhuis, H. Wilf, A probabilistic proof of a formula for the number of Young tableaux of a given shape, Adv. Math. 31 (1979) 104-109. PDF
7. A. M. Vershik, A. Yu. Okounkov, New approach to the representation theory of the symmetric group, Journal of Mathematical Sciences, Vol. 131, No. 2, 2005. PDF
8. E. Vinberg, Linear representations of groups (1989). PDF

Bitácora

Fecha	Material	Tarea
21 ene	Primeras definiciones y ejemplos	Tarea num 1, para el jueves 23 ene: Primeros 5 problemas de notas núm. 1
23 ene	Primeras definiciones y ejemplos	Tarea num 2, para el jueves 30 ene: Problemas 6-16 de notas núm. 1
30 ene	Lema de Schur	Tarea num 3, para el jueves 6 feb: Problemas 17-25 de notas núm. 1
6 feb	Relaciones de ortoganalidad de Schur; teoría de caracteres de grupo finitos	Tarea num 4, para el jueves 13 feb: Problemas 1-10 de notas núm. 2
13 feb	Teorema de Peter-Weyl.	Tarea num 5, para el jueves 20 feb: Problemas 11-21 de notas núm. 2
20 feb	Tablas de caracteres.	Tarea num 6, para el jueves 27 feb: Terminar de entregar Tarea 5. Problemas 1-4 de notas núm. 3
27 feb	SU(2) y SO(3).	Tarea num 7, para el jueves 5 mar: Del Libro de Vinberg (ver Bibliografia), págs. 79-80: Problemas 1-6 Nota sobre 2*: $P$ es la representación adjunta de $\mathrm{SU}_2$ en su álgebra de Lie $\mathfrak{su}_2$(conjugación de matrices anti-hermíticas sin traza), $P_{\mathbf C}:=P\otimes_{\mathbf R} {\mathbf C}$ es su complexificación, Φ2 es la representación de $\mathrm{SU}_2$ en el espacio $V_2$ de polinomios cuadráticos homogéneos en $\mathbf C^2$.
3-5 mar	Representaciones de SU(2)	Tarea num 8, para el jueves 12 mar: Del Libro de Vinberg (ver Bibliografia), págs. 84-85: Problemas 2, 3, 7, 8. Opcional: 9, 10. Sugerencias para los problemas 2+3.
10-12 mar	Representaciones de SU(2)	Tarea num 9, para el jueves 19 mar: Del Libro de Vinberg (ver Bibliografia), pág. 92: Problemas 1-2. Sugerencias para 1: ver la demostracion de Lemma 1, p.86.
17-19 mar	Armonicos esfericos Notas de la clase de 19 mar 2020	Tarea num 10, para el jueves 26 mar: Del Libro de Vinberg (ver Bibliografia), pág. 92: Problemas 3-7.
24-26 mar	Armonicos esfericos Notas de la clase de 24 mar 2020 Notas de la clase de 26 mar 2020 Notas de la clase de 31 mar 2020 Notas de la clase de 2 abr 2020	Tarea num 11, para el jueves 2 abr: Del Libro de Vinberg (ver Bibliografia), pág. 92: terminar los problemas 3-7.
30abr-7 mar	Representaciones de SU(3). Notas de la clase de 28 abr 2020 Notas de la clase de 30 abr 2020 Notas de la clase de 5 mayo 2020	Tarea num 12, para el jueves 7 mayo: Problemas 1-6 de notas num. 4
12-14 mayo	Representaciones de SU(3). Notas de la clase de 12 mayo 2020 Notas de la clase de 14 mayo 2020
19-21 mayo	Representaciones del grupo simetrico y el grupo general lineal Notas de las clases de 19 + 21 mayo 2020
26-28 mayo	Representaciones del grupo simetrico y el grupo general lineal Notas de las clases de 26 mayo 2020 Notas de las clases de 4 jun 2020	Pesentaciones del final del curso: Jueves 28 mayo, Edwin+David: clasificacion de rep de $S_d$ usando diagramas de Young; opcional: "la formula de gancho" para la dimensiones de estas represenraciones. Presentacion Martes-jueves, 2-4 jun, Edgar+Juan+Rocio: Dualidad de Schur-Weyl. Presentacion