Posgrado en matemáticas básicas en el CIMAT.

Algebra Moderna (18ALM01), agsto-dic 2019

Profesor: Gil Bor, oficina I307 (antes F-7), ext 4500, gil@cimat.mx, http://www.cimat.mx/~gil/.

Horario: martes y jueves, de 11:00 a 12:20, en salon G004 del CIMAT.

Dirigido a: estudiantes del 1er semestre de la maestría en matemáticas básicas del CIMAT.

Pre-requisitos: ninguno

Contenido:

Desripción del curso:

 Ver el temario oficial del curso

Es un curso de introducción a la teoría de grupos y la teoría de Galois, con enfasis en el segundo. La teoría de Galois estudia ecuaciones polinomiales mediante extensiones de campos y sus grupos de automorphismos. Con una ecuación polinomial, con coeficientes en cierto campo K (digamos los racionales), se asocia la extensión L de K (un campo que contiene a K como subcampo) generada por las raices (digamos complejas) del polinomio. Luego se considera el grupo de automorfismos G de la extensión (los automorfismos de L que dejan fijos a los elementos de K) y se establece un diccionario entre los subgrupos de G y campos intermedios entre K y L. Se obtiene de esta manera una herramiente muy útil, capaz de resolver una serie de problemas clásicos, como la imposibilidad de tener una solución general por radicales de una ecuación polinomial de quinto grado y ciertas construcciones con compas y regla.

Tarea:

 Hacer la tarea es esencial para seguir el curso y digerir el material. La tarea aparece (típicamente) cada semana, en esta página (en la seccion de Bitácora), para entregar la semena próxima. Entregar toda la tarea (todos los problemas que no son opcionales) cada semana, a tiempo, es obligatorio. Problemas entregados tarde no cuentan para la calificación final, pero sí es importante entregarlos, aun tarde. Si no sabes cómo hacer algunos problemas tienes que buscar ayuda, por ejemplo en mi oficina (típicamente estoy en las tardes). Puedes llamar a mi extensión (4500) antes de buscarme en mi oficina, me escribes un email para hacer una cita, o simplemente haces tu pregunta durante la clase.

Bibliografía:

 Libros:
  1. Michael Artin, Algebra. (5MB, en formato DJVU. Para verlo requiere un programa como este.)
    Muy completo (con algebra lineal, teoria de grupos y anillos etc), con buenos ejemplos y ejercicios. Mi favorito (por el momento).
    • 2nda edición
  2. Ian Stewart, Galois theory. (PDF, 15MB).
    Muchos ejemplos e historia. Probablemente el libro mas popular ahora como 1er libro de teoria de Galois a nivel licenciatura (antes era el libro de Herstein).
  3. Emil Artin, Galois theory.
    Conciso, pocos ejemplos. Se considera el creador de la version moderna de la teoría.
  4. Kaplansky, Fields and Rings. (DJVU, 1MB).
    Conciso, muy buen nivel y ejercicios.

Notas de cursos en linea: Reid | Wilkins | Milne

Articulos
Susan Landau, "How to Tangle with a Nested Radical".1994

Examenes:

 1-2 examenes parciales + final.

Calificación:

 Tarea: 20%; parcial(es): 30%; final: 50%.

Bitácora

>>>> Ver Tabla de calificación de la tarea

Tarea  Fecha de entrega Comentarios
Tarea 1
  • Stewart, p.55: 4.2 (7 incisos).
  • Artin, p.530: 1.1-1.4 (4 problemas).
  • Leer las secciones relevantes de estos dos libros para conocer los terminos que aparecen en los problemas: dominio integral, caracteristica de un campo, el subcampo generado por un subconjunto de un campo, sub-anillo de un anillo.
  • Dar las definiciones precisas de estos 4 términos.
    		• 15 ago La tarea se entrega al inicio de la sesion de cada jueves.
    Tarea 2
  • Artin, p.530-531: 2.1-2.6 (6 problemas).
  • Usando la seccion relevante del libro, dar las definiciones precisas de los términos que aparecen en estos problemas y el material asociado: elementos algebraicos y transcendentes de una extension de campos, polinomio irreducible, polinomio mónico, el polinomio irreducible de un elemento algebraico, dominio de ideales principales, el campo de fracciones de un dominio integral.
    		• 22 ago Los problemas que te faltaron entregar el jueves 15 ago por favor entregarlos en la clase del martes 20 ago.
    Tarea 3
  • Artin, Cap. 10, p.379-381: 1.4, 1.5, 1.8, 1.9, 1.12-1.14, 3.1-3.9 (16 problemas). Opcional: 3.10, 3.11.
    		• 29 ago
    Tarea 4
  • Artin, Cap. 10: 3.18-3.20, 6.2-6.5, 6.7 (7 problemas).
    Opcional: 3.27.
  • Artin, Cap.13: 3.1-3.5 (5 problemas).
    		• 6 sept
    Tarea 5
  • Artin, Cap. 11: 1.4, 1.6, 1.8, 4.1, 4.2, 4.3 (6 problemas)
  • Artin, Cap. 13: 3.6-3.9, 3.12-3.15 (8 problemas).
    		• 13 sept
    Tarea 6
  • Artin, Cap. 13.4: 1-8, 10-11 (10 problemas)
  • Artin, Cap.13.6: 2-5 (4 problemas).
    		• 20 sept Clasificacion de Grupos abelianos finitos
    (Del libro de J. Stillwell, Classical Topology and Combinatorial Group Theory)
    Tarea 7
  • Cap. 12, p.487: 4 (1 problema). Opcional: 9.
  • Cap. 12, p.491: 11 (1 problema).
  • Cap. 13.6: 8-11, 13-15 (7 problemas). Opcional: 16.
    		• 20 sept Pista para prob. 11 de la p. 491: Demuestra el resultado 1ero para un grupo ciclico. Luego, demuestra que si es cierto para dos grupos es cierto tambien para su producto cartesiano.
    Primer parcial: viernes 4 oct, 12:30pm.
  • Material para el examen : Tarea 1-7.
  • Problemas de práctica (no es necesario entregar)
  • Más práctica.
    		• Sobre el prob. 11 de la p. 491 de Artin.
    Tarea 8
  • Leer Artin, Cap.14, seccion 1.
  • Artin, Cap.14.1: 1-10 (10 problemas).
    		• 11 oct
    Tarea 9
  • Leer Artin, Cap.14, seccion 1.
  • Artin, Cap.14.1: 11-18 (8 problemas). Opcional: 19, 20.
    		• 18 oct Solución breve del problema 14.1.4 de la tarea 8.
    Tarea 10
  • Artin, Cap.14.2: 1-4, 6-9 (8 problemas). Opcional: 5.
    		• 1 nov He agregado en la bibliografía la 2nda edicion del libro de Artin; el cap. 16 de teoría de Galois es bastante distinto de la 1era edición (más detallado). En particular, ver el tratamiento del problema 14.1.18 de la tarea 9: ejemplo 16.9.2 en la p. 494.
    Tarea 11 15 nov
    Tarea 12
  • Artin (2nda edicion), Cap. 16.9, p.508: 9.1-9.8 (8 problemas). Opcional: 9.9.
    		• 22 nov
  • Ejemplo 16.9.2a
  • Articulo de Susan Landau sobre "Nested radicals".
  • Solución del problema 16.9.2.
    • Semana de 25-29 nov: no hay clases, excepto viernes 29 nov.
  • Leer y entender la solución del problema 16.9.2 e intentar usarlo para resolver otros problemas de la Tarea 12 que no lograste hacer la semana pasada.
    • Semana de 3-6 dic:
  • Problemas de práctica para el examen final
    los problemas estan tomados de estas notas