Teoria de representaciones: ago-dic 2013.

Contenido:

Por ejemplo: para determinar el espectro (niveles de energía) del átomo de hidrógeno se usa la teoria de representaciones del grupo de matrices ortogonales 3 por 3. Otro ejemplo: ¿existe un cuerpo en R³, mas que la esfera, tal que todos sus "sombras" (proyecciones a R² iluminandolo por rayos de luz paralelos) tienen el mismo área? otro: un día Pepe distrubuye los números de 1 hasta 6 en las 6 caras de un cubo y entrega el cubo a Chucho. El día siguiente Chucho toma el cubo y substituye cada número por el promedio de los números que aparecen en las 4 caras vecinas y regresa el cubo a Pepe. El tercer día Pepe hace lo mismo (substituye el nuemro en cada cara con el promedio de los 4 adyacentes) y entrega el cubo a Chucho. Y así siguen alternando. Pregunta: ¿despues de un mes, qué números se encuentran escritos sobre las caras del cubo? (se usa la teoria de representaciones del grupo simetrico de 4 letras).

(Los ultimos 2 ejemplos son del libro de Kirillov).

Otra caracteristica atractiva del tema es que los pre-requisitos son muy pocos para poder disfrutar y aprobechar de los primeros resultados no triviales de la teoria. Para la 1era parte del curso se necesita poco de teoría de grupos (no mucho mas que la definición de grupo) y álgebra lineal (nivel licenciatura). Para la 2nda parte, los pre-requisitos principales son algo de geometría/topología (conocer la definición+ejemplos de variedad diferencial ayuda pero no es obligatorio).

Temario tentativo

• Primera parte: representaciones y caracteres (esto es básicamente la primera parte del libro de Serre) :
  • definiciones y ejemplos de: representacion, subrepresentacion, representacion irreducible, operaciones sobre representaciones (suma, producto tensorial, cociente).

  • el lema de schur y sus aplicaciones: el caracter de una representacion, las relaciones de ortogonalidad, la descomposicion de la representacion regular de un grupo finito.

• Segunda parte: una seleccion de temas optativos (segun el gusto de los participantes y lo que permite el tiempo):

  • grupos de lie compactos: las representaciones de algunos grupos "claves" (SO(3), SU(2), U(n),...). el teorema de peter-weyl.

  • la descomposicion de las representaciones "tensoriales" de los grupos clasicos.

  • las representaciones del grupo simetrico.

  • algunas representaciones importantes de dimension infinita (eg de SL(2,C)).

  • aplicaciones de la teoria de representaciones a matematica fisica (eg funciones especiales y ecuaciones diferenciales).

Bitácora

Fecha	Material	Tarea	Comentarios
22 ago	Primeras definiciones y ejemplos	Para el martes 27 ago: 5 problemas (por lo menos) de notas num 1	Un programa que usamos en la clase de 22 ago para ilustrar el problema 1.23 de notas num. 1
27-29 ago	Mas definiciones y ejemplos. Toda reprsentacion de grupo finito es Unitaria. Lemma de Schur.	Para el martes 10 sept: Terminar los problemas de notas num 1 Empezar a trabajar en problemas de notas num 2 (mientras más -- mejor).	La semana de 2-6 sept no hay clases. Favor de aprovechar para trabajar en los problemas de las notas 1 y 2.
sept	Teoria de caracteres de grupos finitos. Teorema de Peter Weyl (decomposicion del algebra del grupo en irreducibles).	Resolver los problemas de notas num 3
oct	Tablas de carcateres. Representaciones inducidas.	De lobro de Serre Cap. 3: Los tres problemas al final del capitulo (p. 31).
nov	El grupo simetrico.	Guia examen final	El examen final lo subiré aqui el diciembre 4 diciembre antes del 12pm, para entregarme a mas tardar 24 hrs despues.
4 dic	Examen final	El examen se hace en casa. Nota el cambio de la fecha límite para entregar el examen: lunes 9 diciembre	Soluciones y comentarios del Examen Final

1. J. -P. Serre, linear representations of finite groups
2. Naimark y Stern, Theory of Group representations | DJVU (15MB)
3. Kirillov, elements of the theory of representations
4. Fulton y Harris, Representation Theory: A First Course | Todo (DJVU, 4MB) | 1era parte + bibliografia + indice (PDF, 5MB)
5. Notas de un curso de teoria de representaciones en UC BErkeley.
6. C. Greene, A. Nijenhuis, H. Wilf, A probabilistic proof of a formula for the number of Young tableaux of a given shape, Adv. Math. 31 (1979) 104-109. PDF
7. A. M. Vershik, A. Yu. Okounkov, ``A new approach to the representation theory of the symmetric group"