Temas selectos de geometría y topología: Teoría de Morse, agosto-diciembre 2012
Contenido:
Descripción del curso:
Pregunta: En Australia hay P picos de montañas, F fondos de valles y L lagos. ¿Cuántos pasos de montaña S ("puntos silla") hay en Australia?
Respuesta: según la Teoría de Morse, se puede calcular la característica de Euler de Australia de dos maneras distintas:
(1) e=1-L (esta es la manera estandar de calcularla)
(2) e=P-S+F (esto es el resultado fundamental de la teoría de Morse).
Así que S=P+F+L-1.
La Teoría de Morse relaciona los puntos críticos de una función (P,S,F de la función altura en el ejemplo arriba) con la topología del dominio de la función (L, el "número de agujeros" en nuestro caso). La teoría fue iniciada por Cayley y Maxwell en el siglo 19 y desarrollada en el siglo 20 por Marston Morse (1892-1977) y otros matemáticos prominentes (Bott, Smale, Floer, Witten). Sigue siendo una de las áreas de interacción más fértiles entre distintas áreas de las matemáticas contemporáneas, como topología, geometría (diferencial, algebraica, simpléctica), análisis, cálculo de variaciones, sistemas dinámicos, física matemática...
La idea básica es la siguiente: dada una función diferenciable f: M → R en una variedad diferenciable M (posiblemente no compacta o incluso de dimensión infinita), uno usa la f para descomponer la M en los distintos conjuntos de nivel de f; M=⋃Ma, donde Ma=f -1(a). Luego, uno observa que al variar el valor del nivel a, mientras no pasamos por un valor crítico (en donde la derivada de f se anula en algún punto), la Ma no cambia (topológicamente), y cuando pasamos por un nivel crítico podemos capturar el cambio ocurrido mediante cierta información algebraica, organizada elegantemente por el llamado "complejo celular de Morse" asociado canónicamente con la f.
En general, esta información algebraica puede ser bastante complicada, pero bajo ciertas condiciones favorables -- cuando la f es una "función de Morse perfecta" -- la información algebraica requerida para reconstruir la M es muy poca (los índices de Morse de los puntos críticos de f). Luego, resulta que las funciones más naturales suelen ser "perfectas": la distancia a unas subvariedades "bonitas", la longitud de una curva en una variedad riemanniana, la energía de una partícula o "campo"... de este modo, se obtienen unas de las fórmulas más profundas y bellas en toda la matemática (por ejemplo, el teorema de periodicidad de Bott).
El tema es amplio y sigue activo. En este curso aprendemos primero las ideas y técnicas básicas, y después podemos tocar algunos temas optativos, según el gusto y habilidad del público.
Texto: el libro de Milnor en el tema es un clásico inevitable. Recomiendo a los alumnos empezar a leerlo independientemente.
Pre-requisitos: para poder leer el libro de Milnor, es probable que les va a faltar cierta herramienta básica de topología, como homología celular. ¡No se preocupen! no es difícil, es bastante intuitivo y geométrico (ver el dibujo a la derecha) y lo repasamos en el curso (de hecho lo considero más intuitivo que homología singular o cohomología de deRham, lo que uno típicamente ve primero). Si han visto antes algo de topología algebraica (homología o cohomología de algún tipo) les va ayudar bastante, pero tampoco es esencial, lo pueden aprender durante el curso.
Temario tentativo
- Nociones básicas: puntos críticos no degenerados, sus Hessianas e índices, funciones de Morse, el lemma de Morse, las desigualdades de Morse.
- La teoría de Morse del funcional de energía de una curva en una variedad riemanniana. El índice de Morse de una geodésica.
- Temas optativos: la cohomología de Grassmanianas y variedades de banderas complejas, el teorema de periodicidad de Bott, teoría de Morse según Witten, teoría de Morse en geometría simpléctica (el mapeo momento y el teorema de convexidad).
Tarea:
Hacer la tarea es esencial para seguir el curso y digerir el material. La tarea aparece (típicamente) cada semana, en esta página, para entregar la semana próxima.Bitácora
[Intentaré mantener aquí una bitácora actualizada del curso]| Fecha | Material | Tarea | Comentarios |
| 13-15 ago | Introduccion+motivacion+algunos resultados de la teoria (Periodicidad de Morse, reformulacion de Teoria de Morse por Witten) | Tarea num. 1
(para el jueves 15 ago):
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| 20-22 ago | Primeras definiciones y ejemplos de variedades diferenciales, puntos criticos | Tarea num 2
(para el lunes 27 ago.) Ver correccion de problema 2 (agregada 23 ago). |
He agregado una referencia - el libro de Sato de topologia algebraica. |
| 27-29 ago | Hessianas de puntos criticos. Indice de Morse. Definicion de complejo celular (complejo CW). | Tarea num 3
(para el lunes 10 sept.) |
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| 3-5 sept | Complejos celulares y su homologia. | Tarea num 4
(para el viernes 21 sept.) |
Hemos agregado una sesion de problemas, los viernes a las 9:30am. |
| 24-29 sept | Introduccion a la teoria de morse del funcional de energia en Geometria Riemanniana. | Tarea num 5
Para el viernes 5 oct. (por lo menos la parte A) |
2 oct: he corrigido el problema 11 de la parte A (gracias a un comentario de Erik). |
| 8-12 oct | El funcional de energia de curvas parametrizadas en una variedad rimenniana, sus puntos criticos (geodesicas) y la derivada covariante. | Tarea num 6
Para el viernes 19 oct. |
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| 23-26 oct | La ecacion de Jacobi | 7Tarea num 7
Para el viernes 26 oct. |
Bibliografía:
- Milnor, John (1963). Morse Theory. Princeton University Press. PDF
- Wikipedia (ver las refrencias ahí, sobre todo el artículo indomitable de Bott).
- R. Bott, Morse theory indomitable, PDF
- R. Bott, Morse theory old and new, PDF
- E. Witten, Supersymmetry and Morse Theory, PDF
- Sato, Algebraic topology - an intuituve approach PDF