Cálculo diferencial en el CIMAT

(Para alumnos del 5to semestre del bachillerato)

Semestre: ago-dic 2012

Horario y lugar : Martes y Jueves, 4-6pm, Salón 3 del CIMAT.

Profesor: Gil Bor, oficina F-7, ext 49500, gil@cimat.mx, http://www.cimat.mx/~gil.

Ayudante: Diego Acosta Álvarez (estudainte de posgrado del CIMAT), diego@cimat.mx

Dirigido a: estudiantes del 5to semestre de bachillerato.

Pre-requisitos: Algebra 1 + 2, geometría analítica.

Contenido:

Descripción del curso:

El nombre completo del curso es "Cálculo diferencial e integral", o "Cálculo infinitesimal". Junto con el álgebra y la geometría el tema forma una de las disciplinas más importantes y útiles de las matemáticas, sobre todo en cuanto a las aplicaciones de las matemáticas a otros áreas de las ciencias naturales, como física, química y las distintas ingenierías. Fue creado en el siglo 18 por físicos y matemáticos (en aquella epoca no había ninguna distinción) como Newton y Leibnitz. Una de las primeras aplicaciones del cálculo fue a la mecánica, y en particular a la modelación matemática del movimiento de los planetas por Newton en su libro Prinicipia. Hoy en dia es difícil imaginar el gran avance de la ciencia y tecnología moderna en los últimos 300 años sin el Cálculo.

Hay dos ingredientes básicos en esta disciplina. El primero es el concepto matemático de función. Una función se define (informalmente) como una relación o dependencia entre dos cantidades. Por ejemplo, cuando un objeto (coche) se mueve a lo largo de una carretera describimos el movimiento mediante una función, digamos x(t), que expresa la distancia viajada x desde un punto inicial (la primera cantidad) en términos del tiempo t que le tomó al objeto a recorrer esta distancia (la segunda cantidad). Otra función natural en este contexto es la velocidad v(t) del objeto en términos del tiempo. En cálculo nos dedicamos a estudiar funciones y describir las relaciones entre ellas. Por ejemplo, en el caso de las dos funciones anteriores asociadas con el movimiento de un objeto, aprendemos en el curso que la segunda función v(t) es la derivada (con respecto a t) de la primera función x(t), y que la primera la integral de la segunda. Es decir, aprendemos a calcular una de ellas si nos dan la otra. Así que si nos interesan ambas funciones (la distancia y la velocidad en términos del tiempo) no tenemos que medir las dos! basta medir una de ellas y luego podemos calcular la otra.

El otro ingrediente básico del cálculo es la noción del infinito (como indica el nombre Cálculo Infinitesimal). Aprendemos a manejar y manipular cantidades infinitas de números. Por ejemplo, consideramos una sucesión infinita de números, digamos 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... (los recíprocos de las potencias de 2) y consideramos la suma (infinita!) de todos estos números, 1 + 1/2 + 1/4 + ... (los tres puntos "..." son muy útiles para manejar el infinito). En este caso la suma es "obviamente" 2, pero en otros casos ya no es nada obvio cual es la suma, o siquiera si esta "suma infinita" tiene sentido. Por ejemplo, la suma 1 + 2 + 3 + 4 + ... es infinita, la suma 1 - 2 + 3 - 4 + ... no tiene sentido, la suma 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... es infinita (aunque no es obvio), pero 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + . . . si es finita, y es el número π2/6 ≈ 1.644... !!! (El problema de calcular esta suma se conoce como el Problema de Basilea y fue resuelto en 1735, después de grandes esfuerzos por varios matemáticos, por el matemático suizo Leonhard Euler).

Usamos el libro de Ayres de la serie Schaum. Es fácil de encontrar en línea (ver la bibliografía abajo) y se encuentra en muchas tiendas.

Mantendré en esta página una bitácora del curso con las tareas (semanales), exámenes y ligas útiles.

Examenes: 2 examenes parciales + final

Calificación: Tarea=20%, Examenes parciales (2) = 20%, Examen final = 60%.

Bibliografía:

  • Calculo, de Frank Ayres, de la serie Schaum.
    El Libro entero (20 MB): PDF
    Los primeros capítulos: 1-5 | 6-10 | 11-15

  • Khan Academy
    Buenas clases en línea (es en ingles, algunas tienen traducción a espeñol).

  • Funciones y sus gráficas, de Gelfand y otros. PDF (3MB)
    En ingles, pero bien simple, y las explicaciones son muy buenas, concisas, con muchos dibujos. Gelfand era uno de los matemáticos y maestros más grandes del siglo 20.

Bitácora:

Fecha Material  Tarea  Comentarios
Martes, 7 agosto Introduccion. Algunos ejemplos de sumas infinitas. El problema de la "torre chueca". Tarea num. 1
(Para entregar el martes 14 agosto)
  • Cap. 1, p. 8: 17, 18, 21, 22, 27, 28.
  • Nota: los problemas 17, 18 hay que tener listos para el jueves 9 de agosto, aunque se entrega solo el martes 14 agosto.
    		• Para una demostración que 1 + 1/2 + 1/3 + ... es infinito ver aqui. De hecho son 19 demostraciones diferentes! Cual es tu favorita entre las 19? (si me dices la tuya te digo la mía).
    Jueves, 9 agosto Funciones y sus gráficas.
  • La página del Khan Academy contiene explicaciones muy buenas y claras de varios temas de matematicas. Ver por ejemplo las peliculas sobre funciones (son 5 peliculas, esta es la liga a la 1era, y de ahi hay ligas a las siguientes). Está en ingles y hay varios intentos de traducirlo, por subtítulos o doblando pero no son muy buenos, así que es el momento de aprender ingles (muy útil en la vida).
    • 14-16 agosto Discucion de la tarea num. 1. • Para martes 21 agosto: entregar lo que falta de tarea 1.

    • Para el jueves 23 agosto: Tarea num. 2 (PDF)

    21-23 agosto Repaso: funciones y sus graficas. Pendiente de una recta. Para el jueves 30 agosto: Tarea num. 3

    (Algunos alumnos tienen que entregar tarea num. 1 de nuevo el martes 26 ago. Otros les falta tarea num. 2).

    28-30 agosto Funciones y sus gráficas. Definición de la derivada de una función. Para el jueves 6 sept: Tarea num. 4

    (Si te faltaron ejercicios de tareas anteriores entregalos por favor el martes 4 sept. ).

    4-6 sept Derivadas de funciones. Pendientes de rectas. Guia para parcial num 1
    • Fecha del examen parcial 1: jueves, 13 sept 2012.
    • Ultima fecha para entregar todos los problemas que no has entregado (tareas 1-4): martes, 11 sept.
    • Ver calificaciones de tarea lista de problemas entregados aquí
    11-13 sept Derivadas de funciones. Pendientes de rectas. Tarea num. 5
    (para el martes, 25 sept)
    25-27 sept El metodo de Newton.Optimizacion. Tarea num. 6
    (para el jueves, 4 oct)

    Del libro de Ayres (Schaum)

    • Pag. 27: 18abcdgh, 19a, 20, 21
    • Pag. 33: 25-29
    • Pag. 53: 13,18.
    2-4 oct Max/Min. Reglas de Leibnitz y de la cadena. Tarea num. 7
    (para el jueves, 11 oct)

    Del libro de Ayres (Schaum)

    • Pag. 33-34: 30, 32, 33, 35, 38, 39, 51.
    • Pag. 48: 23bdgh, 24bdgh.
    • Pag. 53: 25.
    9-18 oct Regla de la cadena. Derivada de funciones trigonometricas. Tarea num. 8
    (para el martes, 23 oct)

    Del libro de Ayres (Schaum)

    • Pag. 53: 14,19,20,21
    • Pag. 64-65: 26-29,33,35,37,39.
    16-25 oct Derivada de funciones trigonometricas. Examen parcial num 2: martes, 30 oct

    Guia: tareas 5,6,7,8.

    30 oct - 1 nov Parcial 2. Derivadas de funciones implicitas. Derivadas de funciones trigonometricas inversas. Tarea 9.
    (Para el martes 6 nov)
    • Pag. 36: 6,7,8,10.
    • Pag. 68: pag. 13,15,17,21.
    (ver dibujo para el prob. 21 de la pag. 68).
    6-8 nov Aplicacion de calculo a movimiento. Tarea 10
    (Para el martes 13 nov)
    • Pag. 56: 7,8,10.
    • Pag. 59: 10, 12, 13.
    		Si no has entregado tarea 9 a tiempo hay que entregarlo el jueves 9 nov (condicion para asistir a la clase). Misma condicion para la clase de martes 13 nov (entregar tarea 10).
    13-15 nov Derivada de la funcion exponencial y logaritmo. Tarea 11
    (Para el martes 20 nov)
    • Pag. 74: 25, 27, 30, 37, 39, 41, 46, 49.
    20-22 nov Derivada de la funcion exponencial y logaritmo. Tarea 12
    (Para el martes 27 nov)
    • Pag. 59: 18, 21
    • Pag. 74: 49, 50, 51, 53, 54.
    		Guia para el examen final