Cálculo en el CIMAT

(Para alumnos del 6to semestre del bachillerato)

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Semestre: ene-jun 2012

Horario y lugar : Martes y Jueves, 4-6pm, Salón 3 del CIMAT.

Profesor: Gil Bor, oficina F-7, ext 49500, gil@cimat.mx, http://www.cimat.mx/~gil.

Dirigido a: estudiantes del 6to semestre de bachillerato.

Pre-requisitos: Matemáticas 1-5.

Contenido:

Descripción del curso:

El nombre completo del curso es "Cálculo diferencial e integral", o "Cálculo infinitesimal". Junto con el álgebra y la geometría el tema forma una de las disciplinas más importantes y útiles de las matemáticas, sobre todo en cuanto a las aplicaciones de las matemáticas a otros áreas de las ciencias naturales, como física, química y las distintas ingenierias. Fue creado en el siglo 18 por físicos y matemáticos (en aquella epoca no había ninguna distinción) como Newton y Leibnitz. Una de las primeras aplicaciones del cálculo fue a la mecánica, y en particular a la modelación matemática del movimiento de los planetas por Newton en su libro Prinicipia. Hoy en dia es difícil imaginar el gran avance de la ciencia y tecnología moderna en los últimos 300 años sin el Cálculo.

Hay dos ingredientes básicos en esta disciplina. El primero es el concepto matemático de función. Una función se define (informalmente) como una relación o dependencia entre dos cantidades. Por ejemplo, cuando un objeto (coche) se mueve a lo largo de una carretera describimos el movimiento mediante una función que expresa la distancia viajada desde un punto inicial (la primera cantidad) en términos del tiempo que le tomó al objeto a recorrer esta distancia (la segunda cantidad). Otra función natural en este contexto es la velocidad del objeto en términos del tiempo. En cálculo nos dedicamos a estudiar funciones y describir las relaciones entre ellas. Por ejemplo, en el caso de las dos funciones anteriores asociadas con el movimiento de un objeto, aprendemos en el curso que la segunda función (la velocidad) es la derivada de la primera función (la distancia) y la primera la integral de la segunda. Es decir, aprendeos a calcular una de ellas si nos dan la otra. Así que si nos interesan ambas funciones (la distancia y la velocidad en términos del tiempo) no tenemos que medir las dos! basta medir una de ellas y luego podemos calcular la otra.

El otro ingrediente básico del cálculo es la noción del infinito (como indica el nombre Cálculo Infinitesimal). Aprendemos a manejar y manipular cantidades infinitas de números. Por ejemplo, consideramos una sucesión infinita de números, digamos 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... (los recíprocos de las potencias de 2) y consideramos la suma (infinita!) de todos estos números, 1 + 1/2 + 1/4 + .... En este caso la suma es "obviamente" 2, pero en otros casos ya no es nada obvio cual es la suma, o siquiera si esta "suma infinita" tiene sentido. Por ejemplo, la suma 1 - 2 + 3 - 4 + ... no tiene sentido, la suma 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... es infinita, pero 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + . . . si es finita, y es el número π2/6 ≈ 1.644... !!! (El problema de calcular esta suma se conoce como el Problema de Basilea y fue resuelto en 1735, depues de grandes esfuerzos por varios matemáticos, por el matemático suizo Leonhard Euler).

Usamos el libro de Ayres de la serie Schaum. Es fácil de encontrar en línea (ver la bibliografía abajo) y se encuentra en muchas tiendas.

Mantendré en esta página una bitácara del curso con las tareas (semanales), exámenes y ligas útiles.

Examenes: 2 examenes parciales + final

  • Parcial 1: 29 mar. Guia |El examen
  • Parcial 2: 22 mayo. Guia (el examen fue algunos problemas de la guia).
  • final: 12 junio. Guia (en construccion)

    Calificación: Tarea=15%, Examenes parciales (2) = 20%, Examen final = 65%.

    Bibliografía:

    • Calculo, de Frank Ayres, de la serie Schaum.
      El Libro entero (20 MB): PDF
      Los primeros capitulos: 1-5 | 6-10 | 11-15

    • Khan Academy
      Buenas clases en linea.

    • Funciones y sus gráficas, de Gelfand y otros. PDF (3MB)
      En ingles, pero las explicaciones son muy buenas, concisas, con muchos dibujos. Gelfand era uno de los matemáticos más grandes del siglo 20.

    Bitácora:

    Fecha Material  Tarea  Comentarios
    Martes, 24 ene Introduccion. Algunos ejemplos de sumas infinitas. El problema de la "torre chueca". Para una demostración que 1 + 1/2 + 1/3 + ... es infinito ver aqui. De hecho son 19 demostraciones diferentes! Cual es tu favorita entre las 19? (si me dices la tuya te digo la mía).
    Jueves, 26 ene Más ejemplos ilustrativos del cálculo: suma de serie geométrica infinita, el área del disco, el área de superficie y volumen de la esfera según Arquímedes. Funciones y sus gráficas. Composición. Tarea num. 1
    (Para entregar el jueves 2 feb)
    Cap. 1, p. 8: 17egik, 19-22, 23aceg
    Hay que entregar la forma de inscripición (ver aquí) a más tardar el miercoles 1 feb. Pueden mandarlo por correo electrónico o llevarlo a la clase de martes 31 ene.
  • La página del Khan Academy contiene explicaciones muy buenas y claras de varios temas de matematicas. Ver por ejemplo las peliculas sobre funciones (son 5 peliculas, esta es la liga a la 1era, y de ahi hay ligas a las siguientes). Está en ingles y hay varios intentos de traducirlo, por subtítulos o doblando pero no son muy buenos, así que es el momento de aprender ingles (muy útil en la vida).
    • Martes, 31 ene La derivada de una funcion, la velocidad de movimiento y la pendiente de una curva.
    Jueves, 2 feb Revision de tarea num. 1. El binomio de Newton y el Triangulo de Pascal. Tarea num 2
    Para entregar el Jueves 9 feb.
  • Del cap. 4 del libro de Calculo de Ayres:
    pag. 27: 15, 16b, 18ad, 19a, 21, 22a.
  • Del cap. 17 del libro de Algebra de Spiegel:
    Pag. 161: 39bdef, 40bdfh, 42, 43, 45.
    • 6-8 feb Derivadas de funciones. Regla de Leibnitz y de la cadena. Tarea num 3
    Para entregar el Jueves 16 feb.
  • Del cap. 5 del libro de Calculo de Ayres:
    pags 33-34: 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51.
    		• Reto num. 1
    13-15 feb Maximos y minimos de funciones. Tarea num 4
    Para entregar el Jueves 23 feb.
  • Del libro de Calculo de Ayres:
    Cap. 8, pgs 48-49: 22, 23, 24, 26.
    Cap. 9, p. 53: 13.
    		• Reto num. 2
    21-23 feb Máximos y mínimos de funciones. Diferenciación implicita. Tarea num 5
    Para entregar el Jueves 1 marzo.
  • Del libro de Calculo de Ayres:
    Cap. 9, p. 53: 18-22, 25.
    		• Reto num. 3
    28 feb - 1 mar Máximos y mínimos de funciones. Tarea num 6
    (Para entregar el Jueves 8 marzo)
    Del libro de Cálculo de Ayres:
  • Terminar los problemas de la tatrea anterior que no has entregado.
  • Cap. 8, p.43: 6,8,10.
    • 6-15 mar Derivadas implicitas. La funcion exponencial y logaritmica y sus derivadas. El número de Euler (e=2.71...). Tarea num 7
    (Para entregar el martes 20 mar)
    Del libro de Cálculo de Ayres:
  • Cap. 6, pag. 36: 7, 11.
  • Cap. 14, pag.74: 25, 27, 29, 33, 50, 57 (opcional).
  • Examen parcial num. 1: jueves, 29 mar.

    NOTA: para poder presentar el examen hay que entregar TODOS los problemas de la tarea a mas tardar el martes 27 mar.

  • Guia para el primer examen parcial
  • Reto num. 4
    • 19 abr Integral indefinida y definida. Cálculo de áreas. Tarea num 8
    (Para entregar el jueve 26 abr)
    Del libro de Cálculo de Ayres:
  • Cap. 25, pag. 135: 100, 103, 110
  • Cap. 33, pag. 168: 28aceh
  • Cap. 34, pag. 175: 15aceg
    • 3 mayo Integracion por partes. Como calcular log(2) si no tienes de otra? (Resp 1: serie de Taylor; resp 2: el area abajo de 1/x, 1 Tarea num 9
    (Para entregar el martes 8 de mayo)
    Del libro de Cálculo de Ayres:
  • Cap. 26, pag. 141: 12, 14, 16, 19, 21, 22, 23, 25, 27.
    • 10 mayo Funciones trigonometrias y sus inversas, la formula de Euler. Tarea num 10
    (Para entregar el martes 15 de mayo)
    Del libro de Cálculo de Ayres:
  • Cap. 12, pag. 65: 29, 33, 35, 49, 50.
  • Cap. 13, pag. 65: 15, 16, 21.
    • 15 mayo Solucion de tarea 10. Examen parcial num 2: 22 mayo. Guia para parcial 2