Curso de la Licenciatura en Matemáticas de la UG:

Cálculo 3: aug-dic 2011.

Profesor: Gil Bor, oficina F-7, ext 49500, gil@cimat.mx, http://www.cimat.mx/~gil/ .

Ayudante del curso: Guillermo Dibene. http://dibene.wordpress.com

Horario: Clase: lunes, martes, miercoles, 12:30 - 14:00. Sesión de problemas: jueves 12:30 - 14:00.

Ayudantias/asesorias

Con el ayudante Guillermo Dibene: martes y miercoles, de 2:30-3:30pm, en el DEMAT (salon 3 o 6).

Con Gil Bor: miercoles 6:30-8pm, en su oficina F-7 en el cimat.

Lugar: Salon 6 del DEMAT.

Dirigido a: estudiantes del tercer semetre de la licenciatura de matemáticas o computo del DEMAT.

Pre-requisitos: Cálculo 1+2, alg lin 1

Desripción del curso:

Este curso es una continuación de los cursos de cálculo 1 y 2. El curso se trata de la generalización de los conceptos y resultados de cálculo de una variable (continuidad, derivada e integral de funciones reales de una variable) a funciones de varios variables. Algunos resultados se generalizan inmediatamente sin mayores esfuerzos (continuidad), otros son más sutiles (integración). En general, el ambiente es mucho mas geométrico que en los primeros cursos de cálculo. Para fines de aplicaciones de las matemáticas en la ciencias naturales, sobre todo la física, es un curso clave.

Seguimos el temario oficial (excepto la parte 4, que fue cubierta al aparecer en cálculo 1 y 2).

Nuestro texto, sobre todo para los ejercicios, es Courant y John (lo tienen abajo en linea). El problema principal de este libro para los alumnos es que no está escrito en el estilo formal usual de definición/teorema/demostración. Esto hace que se vueleve a veces trabajoso encontrar en el texto una definición o resultado requerido. Un problema menor es que hay varios errores de la traducción a español (la mayoría errores tipográficos pequeños). Pero por otro lado el material en este libro es muy bueno y extenso, con ejercicios interesantes y sí incluye todas las demostraciones formales necesarias. Hay muchos otros textos, de todos sabores y estilos, desde los mas abstractos hasta los mas "ingenieros" (el tema es fundamental para toda carrera tecnica). En la bibliografia (abajo) sugiero algunos buenos alternativas (gracias al ayudante Guillermo Dibene para compilar la lista).

La participación en las clases no es obligatoria pero altamente recomendada, ya que el aspecto intuitivo/geometrico del material, que es basico, es imposible de transmitir en texto. Habrá tarea semanal, 1-2 exámenes parciales y exámen final. Entregar toda la tarea (todos los problemas) es obligatorio (sin esto no se puede presentar los examenes).

Intentare mantener en esta página una bitacora detallada del curso.

Tarea:

Hacer la tarea es esencial para seguir el curso y digerir el material. La tarea aparece tipicamente el jueves o viernes de cada semana, en esta pagina, para entregar el próximo jueves al inicio de la sesión de problemas. Para que cuente, es obligatorio entregar la tarea a tiempo. Para poder presentar el examen (parcial o final) hay que entregar todos los problemas (no opcional) de toda la tarea, 1 semana antes del examen. Si no sabes como hacer algunos problemas tienes que buscar ayuda, por ejemplo en la sesion de ayudantia (miercoles por la tarde), o en mi oficina (mirecoles a las 6:30pm). Tambien puedes buscarme en mi oficina. Puedes llamar a mi extension (49500) antes de subir a mi oficina. Si no me encuentras me escribes un email para hacer una cita, o simplemente haces tu pregunta durante la clase.

Pagina de la tarea del ayudante Guillermo Dibene: http://dibene.wordpress.com/calculo-vectorial-mat-113/

Bibliografía:

Courant y John, Introducción al cálculo y al análisis matemático, Vol. 2.
Esta es la referencia principal. PDF (45 MB).
Otros libros (con comentarios el ayudante Guillermo Dibene): Haaser, Lang (ejercicios faciles); Apostol (denso); Apostol y Rudin (denso, pero bueno para generalizaciones); Marsden (legible pero de poco contenido).
Curso de Calculo vectorial en video. E. Frenkel, UC Berkeley, EU: YOUTUBE
Flash and Math
Una herramienta grafica muy buena para ver graficas y curvas de nivel de funciones tipo z=f(x,y), y superficies parametricas. Por ejemplo, escoje 3D Function Graphers para la grafica de una funcion de 2 variables f(x,y). O incluso mejor, en Paramertic Surfaces in Rectangular Coordinates, puedes tambien rotar la superficie mas facilmente con el mouse en lugar de usar la flechas (para graficar f(x,y) metes x=s, y=t, z=f(s,t)).
Algunos applets interesantes. Bueno para dibujar un campo vectorial, gradiente de una funcion y el flujo asociado (escoje en la primera entrada "setup: user defined potential" o "user defined field".).
Otro sitio bueno para graficar funciones

Examenes:

2 examenes parciales + final.

Primer parcial: 9 sept, 2011.
Guia | El Examen | Soluciones |Calificaciones
Segundo parcial: 8 nov, 2011.
El Examen | Soluciones | Calificaciones
Final: 7 dic, 2011.
El Examen |

Calificación:

Tarea: 15%; parciales: 20%; final: 65%.

Calificaciones del curso PDF
Calificaciones de la tarea PDF

Bitácora

Semana Material Tarea Comentarios

15-18 aug Topologia en en Rⁿ: abiertos, cerrados, cerradura, frontera, continuidad ( 1.1-1.3 del Courant). Tarea num. 1 (para el jueves 18 agsto)
Leer la seccion 1.1 del libro de Courant y John, vol. II (ver bibliografia), y hacer los siguientes problemas.
Pag. 35: 1a,2, 3,4,5
Pag. 36: 2, 3.
Pag. 41: escoger 5 de los incisos de problema 2.
Tarea num. 2 (para el jueves 25 agto)
Leer la secciones 1.2 y 1.3 del libro de Courant y John, vol. II (ver bibliografia), y hacer los siguientes problemas.
Pags 49-52: 1,2,4,11,12,16,18,20.

Pag. 35, 1a: son 3 casos distinos: |z|<1, |z|=1, |z|>1. El segundo caso se divide en dos, z=1 o z distinto de 1 (pero con |z|=1). Luego, para un vector en el plano, pensado como un numero complejo, |z|=||z|| y |zw|=|z| |w|.
Pag 35, 2: demuestra que una sucecion en R² (o Rⁿ) converge ssi cada una de las coordenadas de los elemntos de la sucecion converge. Para esto usa las estimaciones: si v=(x,y) entonces |x|, |y| <= ||v||, ||v|| <= |x|+ |y|.
En problema 2 de la pag. 41, hay que hacer un dibujo del dominio en R2 para cada inciso.
Primer examen parcial: 8 sept, 2011. Material: tareas 1,2,3.
Nota: para poder presentar el examen hay que entregar todos los problemas de toda la tarea a mas tardar el 1 sept 2011.

22-25 agsto Diferenciabilidad. La derivada direccional y derivadas parciales. La derivada de una funcion y su matriz Jacobiana. Tarea num. 3 (para el jueves 1 sept)
Pag. 56-57: 1adfn, 2f, 3c, 6,8, 10
Pag. 69: 1abc
Pag. 73: 2acf, 3a, 4.
Entregar todos los problemas faltantes de tareas anteriores (1 y 2), para poder presentar el examen de la siguiente semana.

En problema 2 de la pag. 73, la derivada D_(α)f significa la derivada direccional D_vf, donde v es el vector unitario v=(cosα, senα).
En problema 3 de la pag. 73, la derivada direccional de una funcion f en la direccion de un vector, digamos (4,3,0), significa D_vf, donde v es el vector normalizado, v=(4,3,0)/5.

29 ago-1 sept El gradiente. Derivadas parciales continuas implican diferenciabilidad. Diferenciabilidad implica continuidad.
Guia de estudios para el primer parcial (8 sept) PDF

5-8 sep Regla de la cadena. La ley de conservacion de energia para la ecuacion de Newton. Primer parcial Tarea num 4: PDF (para el jueves, 15 sep).

12-15 sep Repaso de de la derivada. Tarea num 5: PDF (para el jueves, 22 sep).

19-22 sep Curvas integrales de campos vectoriales. Tarea num 6: PDF (para el jueves, 29 sep).

26-29 sep Segunda Ley de Newton y conservacion de energia. Igualdad de las derivadas mixtas. Tarea num 7: PDF (para el jueves, 6 oct).

3-6 oct El retrato fase de x''+sen(x)=0. Puntos criticos de funciones. El hessiano. El problema de Steiner. Tarea num 8:
(para el jueves, 13 oct).
Del libro de Courant:
Pag. 381: 1ace, 2, 3, 5, 7.
Pag. 403: 1ab.

10-13 oct Caracetrizacion de puntos criticos segun el Hessiano. Puntos criticos restringidos (el metodo de multiplicadores de Lagrange). Tarea num 9:
(para el jueves, 20 oct).
Del libro de Courant:
Pag. 386: 2, 3, 4.
Pag. 397: 1,2,5,6,8.

17-20 oct Repaso con el ayudante (el maestro se enfermo). Tarea num 10:
(para el jueves, 27 oct).
Del libro de Courant:
Pag. 397-398: 7,9, 10, 12, 13
Pag. 403: 5
Sugerencia: usar la desigualdad de Holder (p. 396).

24-27 oct Serie de Taylor Tarea num 11:
(para el jueves, 3 nov).
Del libro de Courant:
Pag. 99, Ejercicios: 1, 2,3,4b, 7.
Pag. 99-100, Problemas: 1.
Parte C de este examen
2ndo examen parcial: lunes, 7 nov
Ultima fecha para entragar todos los problmes de tarea 1-11 (para poder presentar el exman): jueves, 3 nov.

31 oct - 3 nov Teorema de funcion implicita Tarea num 12:
(para el jueves, 10 nov).
Del libro de Courant:
Pag. 270: 1,2,3,4.
Pag. 273: 1
Pag. 276: 3

Problema 4 de la pag. 270: "y(x) es convexa en x=a" significa y''(a)>0.

7-10 nov Teorema de funcion implicita. Parcial 2. Ayuda para tarea 12. Tarea num 13

14-17 nov Conicas. Tarea 14
(para jueves 24 nov)
pag. 245: 3,4,5,6, 8.

21-24 nov Orientacion. Producto vectorial. Tarea 15
(para jueves 1 dic)

28 nov - 1 dic Teorema de funcion implicita y teo de funcion inversa (demostracion usando teorema de punto fijo para contracciones). Examen final: miercoles 7 dic, 11am.
Sesion de ayudantia para el examen final: martes 6 dic, 12:30am.

Semana	Material	Tarea	Comentarios
15-18 aug	Topologia en en Rⁿ: abiertos, cerrados, cerradura, frontera, continuidad ( 1.1-1.3 del Courant).	Tarea num. 1 (para el jueves 18 agsto) Leer la seccion 1.1 del libro de Courant y John, vol. II (ver bibliografia), y hacer los siguientes problemas. Pag. 35: 1a,2, 3,4,5 Pag. 36: 2, 3. Pag. 41: escoger 5 de los incisos de problema 2. Tarea num. 2 (para el jueves 25 agto) Leer la secciones 1.2 y 1.3 del libro de Courant y John, vol. II (ver bibliografia), y hacer los siguientes problemas. Pags 49-52: 1,2,4,11,12,16,18,20.	Pag. 35, 1a: son 3 casos distinos: \|z\|<1, \|z\|=1, \|z\|>1. El segundo caso se divide en dos, z=1 o z distinto de 1 (pero con \|z\|=1). Luego, para un vector en el plano, pensado como un numero complejo, \|z\|=\|\|z\|\| y \|zw\|=\|z\| \|w\|. Pag 35, 2: demuestra que una sucecion en R² (o Rⁿ) converge ssi cada una de las coordenadas de los elemntos de la sucecion converge. Para esto usa las estimaciones: si v=(x,y) entonces \|x\|, \|y\| <= \|\|v\|\|, \|\|v\|\| <= \|x\|+ \|y\|. En problema 2 de la pag. 41, hay que hacer un dibujo del dominio en R2 para cada inciso. Primer examen parcial: 8 sept, 2011. Material: tareas 1,2,3. Nota: para poder presentar el examen hay que entregar todos los problemas de toda la tarea a mas tardar el 1 sept 2011.
22-25 agsto	Diferenciabilidad. La derivada direccional y derivadas parciales. La derivada de una funcion y su matriz Jacobiana.	Tarea num. 3 (para el jueves 1 sept) Pag. 56-57: 1adfn, 2f, 3c, 6,8, 10 Pag. 69: 1abc Pag. 73: 2acf, 3a, 4. Entregar todos los problemas faltantes de tareas anteriores (1 y 2), para poder presentar el examen de la siguiente semana.	En problema 2 de la pag. 73, la derivada D_(α)f significa la derivada direccional D_vf, donde v es el vector unitario v=(cosα, senα). En problema 3 de la pag. 73, la derivada direccional de una funcion f en la direccion de un vector, digamos (4,3,0), significa D_vf, donde v es el vector normalizado, v=(4,3,0)/5.
29 ago-1 sept	El gradiente. Derivadas parciales continuas implican diferenciabilidad. Diferenciabilidad implica continuidad.	Guia de estudios para el primer parcial (8 sept) PDF
5-8 sep	Regla de la cadena. La ley de conservacion de energia para la ecuacion de Newton. Primer parcial	Tarea num 4: PDF (para el jueves, 15 sep).
12-15 sep	Repaso de de la derivada.	Tarea num 5: PDF (para el jueves, 22 sep).
19-22 sep	Curvas integrales de campos vectoriales.	Tarea num 6: PDF (para el jueves, 29 sep).
26-29 sep	Segunda Ley de Newton y conservacion de energia. Igualdad de las derivadas mixtas.	Tarea num 7: PDF (para el jueves, 6 oct).
3-6 oct	El retrato fase de x''+sen(x)=0. Puntos criticos de funciones. El hessiano. El problema de Steiner.	Tarea num 8: (para el jueves, 13 oct). Del libro de Courant: Pag. 381: 1ace, 2, 3, 5, 7. Pag. 403: 1ab.
10-13 oct	Caracetrizacion de puntos criticos segun el Hessiano. Puntos criticos restringidos (el metodo de multiplicadores de Lagrange).	Tarea num 9: (para el jueves, 20 oct). Del libro de Courant: Pag. 386: 2, 3, 4. Pag. 397: 1,2,5,6,8.
17-20 oct	Repaso con el ayudante (el maestro se enfermo).	Tarea num 10: (para el jueves, 27 oct). Del libro de Courant: Pag. 397-398: 7,9, 10, 12, 13 Pag. 403: 5	Sugerencia: usar la desigualdad de Holder (p. 396).
24-27 oct	Serie de Taylor	Tarea num 11: (para el jueves, 3 nov). Del libro de Courant: Pag. 99, Ejercicios: 1, 2,3,4b, 7. Pag. 99-100, Problemas: 1. Parte C de este examen	2ndo examen parcial: lunes, 7 nov Ultima fecha para entragar todos los problmes de tarea 1-11 (para poder presentar el exman): jueves, 3 nov.
31 oct - 3 nov	Teorema de funcion implicita	Tarea num 12: (para el jueves, 10 nov). Del libro de Courant: Pag. 270: 1,2,3,4. Pag. 273: 1 Pag. 276: 3	Problema 4 de la pag. 270: "y(x) es convexa en x=a" significa y''(a)>0.
7-10 nov	Teorema de funcion implicita. Parcial 2. Ayuda para tarea 12.	Tarea num 13
14-17 nov	Conicas.	Tarea 14 (para jueves 24 nov) pag. 245: 3,4,5,6, 8.
21-24 nov	Orientacion. Producto vectorial.	Tarea 15 (para jueves 1 dic)
28 nov - 1 dic	Teorema de funcion implicita y teo de funcion inversa (demostracion usando teorema de punto fijo para contracciones).	Examen final: miercoles 7 dic, 11am. Sesion de ayudantia para el examen final: martes 6 dic, 12:30am.