Curso de la Licenciatura en Matemáticas de la UG:

Algebra moderna 2, agsto-dic 2010

Profesor: Gil Bor, oficina F-7, ext 49500, gil@cimat.mx, http://www.cimat.mx/~gil.

Horario:

clase: martes, miercoles, de 9:30-11:00 am, salón 7 de Famat.
sesión de problemas: Viernes, 9:30-11 am.

Dirigido a: estudiantes del 5to semetre (o más) de la licenciatura de matemáticas o computo del DEMAT.

Pre-requisitos: alg lin 1 y 2, alg moderna 1 (teoría de grupos)

Desripción del curso:

Es un curso de introducción a la teoría de Galois. La teoría de Galois estudia ecuaciones polinomiales mediante extensiones de campos y sus grupos de automorphismos. Con una ecuación polinomial, con coeficientes en cierto campo K (digamos los racionales), se asocia la extensión L de K (un campo que contiene a K como subcampo) generada por las raices (digamos complejas) del polinomio. Luego se considera el grupo de automorfismos G de la extensión (los automorfismos de L que dejan fijos a los elementos de K) y se establece un diccionario entre los subgrupos de G y campos intermedios entre K y L. Se obtiene de esta manera una herramiente muy útil, capaz de resolver una serie de problemas clásicos, como la solución general por radicales de una ecuación polinomial de quinto grado y ciertas construcciones con compas y regla.

Temario tentativo: repaso de anillos (sobre todo anillos de polinomios); extensiones de campos y sus grupos de Galois; aplicaciones: construcciones con compás y regla (trisección de ángulo, duplicación del cubo, cuadratura del círclo, polígonos regulares) y solución por radicales de ecuaciones polinomiales. Temas opcionales (según el tiempo): grupos de Galois de cubiertas ramificadas asociadas a funciones algebraicas de una variable compleja, aplicaciones de la teoría de Galois de campos finitos a la teoría de códigos, teoría de números algebraicos.

Tarea:

Hacer la tarea es esencial para seguir el curso y digerir el material. La tarea aparece (típicamente) cada semana, en esta página (en la seccion de Bitácora ), para entregar la semena próxima. Entregar toda la tarea (todos los problemas que no son opcionales) cada semana, a tiempo, es obligatorio. Problemas entregadas tarde no cuentan para la calificación final, pero sí es importante entregarlas, aun tarde, porque no puedes presentar examenes parciales sin haber entregado la tarea. Si no sabes cómo hacer algunos problemas tienes que buscar ayuda, por ejemplo en mi oficina (típicamente estoy en las tardes). Puedes llamar a mi extensión (49500) antes de subir a mi oficina. Si no me encuentras me escribes un email para hacer una cita, o simplemente haces tu pregunta durante la clase.

Bibliografía:

Libros:

Michael Artin, Algebra. (5MB, en formato DJVU. Para verlo requiere un programa como este.)
Muy completo (con algebra lineal, teoria de grupos y anillos etc), con buenos ejemplos y ejercicios. Mi favorito (por el momento).
Ian Stewart, Galois theory. (PDF, 15MB).
Muchos ejemplos e historia. Probablemente el libro mas popular ahora como 1er libro de teoria de Galois a nivel licenciatura (antes era el libro de Herstein).
Emil Artin, Galois theory.
Conciso, pocos ejemplos. Se considera el creador de la version moderna de la teoría.
Kaplansky, Fields and Rings. (DJVU, 1MB).
Conciso, muy buen nivel y ejercicios.

Notas de cursos en linea:

Examenes:

2 examenes parciales + final.

Primer examen parcial: lunes 23 agsto, 9:30. Material: tareas 1 y 2. PDF

Segundo examen parcial: miercoles 3 nov, 9:30. Material: tareas 1 hasta 9 . El examen | Soluciones

Exmen final: viernes 3 dic, 11:00 am. Guia | El examen | Soluciones

Segundo final: martes 14 dic, 11:00 am. El examen

Calificación:

Tarea: 20%; parciales: 30%; final: 50%.

Las calificaciones

Bitácora

Semana Material Tarea Comentarios

2-6 agsto Extensiones de campos y sus grados. Tarea núm. 1:
(Para viernes 13 agsto)

Del libro de Stewart:
cap. 4, pag 55, 4.1-4.3

Del libro de M. Artin:
cap. 13, pag 530-1, 1.1-1.4, 2.1-2.5. Opcional: 2.6.

Ver las ligas a los libros en la sección de bibliografía
Pista para 1.3 de Artin: dado un r en R estudia el kernel de la transformación F-lineal de R en R que manda un x a rx.
(6 agsto) Subestimé la cantidad y dificultad de la tarea. En la sesión de problemas de 6 de agsto cubrimos: de Stewart 4.1, 4.2 (a,b,c,d), y de Artin 1.3. Posponemos entonces la entrega de la tarea al próximo viernes.

9-13 agsto Extensiones de campos y sus grados (cont.). Repaso de dominio de ideales prinicipales. El polinomio irreducible de un elemento algebraico. Lemma de Gauss. Criterio de irreducibilidad de Eisenstein. Raices racionales de polinomios en Z[x]. Teorema de Kronecker (multiplicidad de grado en torres de extensiones). Tarea núm. 2:
(Para viernes 20 agsto)

Del libro de M. Artin:
cap. 13, pag 531, 3.1-3.15 (problemas 3 y 4 son opcionales pero altamente recomendados).

He puesto al final de la página una nueva sección de comentarios anónimos. Todos comentarios/preguntas bienvenidos.
Aquí están algunas soluciones de la tarea 1.

16-20 agsto Extensiones de campos y sus grados (cont.). Construcciones con compas y regla. Tarea núm. 3:
(Para viernes 27 agsto)

Artin, cap. 13: 3.3-3.4 (si no los has hecho la semana pasada). Pag 535 (misc): 1, 3. Opcional: 8.1
Stewart: 5.7, 5.9, 6.8, 6.9, 6.10. Opcional: 6.11, 6.15.

Nota que 6.11 y 6.15 de Stewart nos dan 2 demostraciones que los numeros complejos algebraicos sobre Q es una extension infinita de Q (tarea 2, problema 3.15 de Artin, pag. 531)

23-27 agsto Parcial num 1. Construcciones con compas y regla. Tarea núm. 4:
(Para viernes 3 sept)

Completar tarea 3
Artin: pag. 531, 4.1, 4.2, 4.4, 4.5

30 agsto - 3 sept Construcciones con compas y regla. Campos finitos Tarea núm. 5:
(Para viernes 10 sept)

Artin, pag. 533: 6.2-6.4, 6.7-6.11, 6.13.
Completar tarea 3!

6 - 10 sept Campos finitos Tarea núm. 6:
(Para viernes 23 sept)
Artin, pag. 532-533: 5.1-5.4, 6.5,
Artin, pag. 535: 2. Opcional: 5, 7.
Ejercicios adicionales

13 - 17 sept Campos finitos no hay tarea (puente de 16 de sept)

20-24 sept sept Grupos y extensiones de Galois Tarea num 7.
(Para viernes 1 oct)
M. Artin, pag 575: 3,6-8,10-13, 16,17. Opcional: 14,15.
He puesto todo el libro de Artin en linea en la bibliografia. Tambien puse el libro de Kaplanski.

27 sept - 1 oct Ecuaciones cubicas. Poligonos regulares Tarea num 8.
(Para viernes 8 oct)
M. Artin, pag 576: 1.20, 2.1-2.9

4 - 8 oct Teorema fundamental de Teoria de Galois. Acciones de grupos. Tarea num 9
(Para viernes 15 oct)
M. Artin, pag 576: 1.20 (si no lo has hecho la semana pasada)
M. Artin, pag 577: 4.2, 4.5
M. Artin, pag 583: 1,3,5.
M. Artin, pag 192-194: 5.3, 5.5, 5.8-5.11, 6.1, 6.5, 6.7, 7.3

11-15 oct Teorema fundamental de Teoria de Galois. No hay tarea esta semana. Se extiende la entrega de tarea 9 hasta 22 oct.
2ndo examen parcial: 1 nov. Material: tarea 1-9.
Ultima fecha para entregar todos los problemas de toda la tarea, para poder presentar el 2ndo parcial: 29 nov, 9:30am, en la sesion de problemas
Empezando lunes 24 oct, cada clase (lunes y miercoles) empieza con 10 mnts de examen rapido. El promedio de las calificaciones de estos examenes, si supera a la calificaciones de uno de los examenes parciales, lo sustituye.

18-22 oct Teorema fundamental de Teoria de Galois. Campos de descomposicion. Acciones de grupos. Tarea 10
(para viernes 5 nov)
M. Artin, pag 578: 5.1, 5.2, 5.4 , 5.7-5.12. Opcional: 5.3.

1-5 nov sin clases (puente+ exmamen) Tarea 11
(para viernes 11 nov)
M. Artin, pag 577: 4.3, 4.4
M. Artin, pag 583-584 (misc.): 2,4, 6, 9.
Opcional: 13.

Comentarios anónimos

Por favor comenta aquí tu opinión acerca del curso. Toda sugerencia (constructiva!) está bienvenida. Es la primera vez que doy este curso así que no dudes en proponer cambios. Tambien puedes hacer preguntas de la tarea o del material que se ve en la clase.

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