Teoria de representaciones: ene-jun 2008.

Contenido:

Por ejemplo: para determinar el espectro (niveles de energía) del átomo de hidrógeno se usa la teoria de representaciones del grupo de matrices ortogonales 3 por 3. Otro ejemplo: ¿existe un cuerpo en R³, mas que la esfera, tal que todos sus "sombras" (proyecciones a R² iluminandolo por rayos de luz paralelos) tienen el mismo área? otro: un día Pepe distrubuye los números de 1 hasta 6 en las 6 caras de un cubo y entrega el cubo a Chucho. El día siguiente Chucho toma el cubo y substituye cada número por el promedio de los números que aparecen en las 4 caras vecinas y regresa el cubo a Pepe. El tercer día Pepe hace lo mismo (substituye el nuemro en cada cara con el promedio de los 4 adyacentes) y entrega el cubo a Chucho. Y así siguen alternando. Pregunta: ¿despues de un mes, qué números se encuentran escritos sobre las caras del cubo? (se usa la teoria de representaciones del grupo simetrico de 4 letras).

(Los ultimos 2 ejemplos son del libro de Kirillov).

Otra caracteristica atractiva del tema es que los pre-requisitos son muy pocos para poder disfrutar y aprobechar de los primeros resultados no triviales de la teoria. Para la 1era parte del curso se necesita poco de teoría de grupos (no mucho mas que la definición de grupo) y álgebra lineal (nivel licenciatura). Para la 2nda parte, los pre-requisitos principales son algo de geometría/topología (conocer la definición+ejemplos de variedad diferencial ayuda pero no es obligatorio).

Temario tentativo

• Primera parte: representaciones y caracteres (esto es básicamente la primera parte del libro de Serre) :
  • definiciones y ejemplos de: representacion, subrepresentacion, representacion irreducible, operaciones sobre representaciones (suma, producto tensorial, cociente).

  • el lema de schur y sus aplicaciones: el caracter de una representacion, las relaciones de ortogonalidad, la descomposicion de la representacion regular de un grupo finito.

• Segunda parte: una seleccion de temas optativos (segun el gusto de los participantes y lo que permite el tiempo):

  • grupos de lie compactos: las representaciones de algunos grupos "claves" (SO(3), SU(2), U(n),...). el teorema de peter-weyl.

  • la descomposicion de las representaciones "tensoriales" de los grupos clasicos.

  • las representaciones del grupo simetrico.

  • algunas representaciones importantes de dimension infinita (eg de SL(2,C)).

  • aplicaciones de la teoria de representaciones a matematica fisica (eg funciones especiales y ecuaciones diferenciales).

Bitácora

Fecha	Material	Tarea	Comentarios
28 ene	Primeras definiciones y ejemplos	Para el martes 5 feb: 7 problemas (por lo menos) de notas num. 1	notas num 1
4 feb	Representaciones irrreducibles. Lema de Schur. La algebra de un grupo finito.	Para el martes 12 feb: todos los problemas de notas num. 1
11 feb	Relaciones de ortogonalidad de Schur. Acciones de grupos.	Para el martes 19 feb: Los 8 problemas de notas num. 2 (y los problemas de notas num. 1 que no enregaste).	notas num 2
18 feb	El teorema de Peter-Weyl para grupo finito (descomposicion de la rpresenatcion regular).	Para el martes 27 feb: terminar los problemas de notas num 2.
25 feb	Tablas de caracteres de grupos finitos.	Para el martes 4 de marzo: los problemas de notas num. 3	notas num 3
11 de marzo	Introduccion a la teoria de representaciones del grupo simetrico	Para el jueves 13 de marzo: demostrar que el caracter de una representacion irreducible de un grupo finito es un multiplo (por una constante) de un idempotento en el algebra del grupo. Reto: este idempotente es primitivo?	Para esta parte del curso vamos a usar el libro de Fulton y Harris. Ver abajo en la Bibliografia. Soluciones de 3.2 y 3.3 Notas num 4
17-28 marzo	Vacaciones de semana santa	Para el martes 1 de abril: Demostracion de resultados de la teoria de representaciones del Grupo Simetrico: Teorema 1: construccion de las representaciones irreducibles dentro del algebra del grupo (usando los simetrizadores de Young). >>>Cristobal. Teorema 2: Las dimesniones de estas representaciones (la formula de longitud de gancho). >>>Mario Teorema 3: La construccion de Weyl para las representaciones irreducibles (polinomiales) del grupo general lineal. >>>Noemi Teorema 4: la restriccion de una representacion irreducible de Sn a Sn-1. >>>Rosenberg.
1-17 abril	Representaciones del grupo simetrico (presentaciones de alumnos)	Para el martes 22 de abril: Entender y escribir la demostracion de la proposicion 1.4 de la pag. 8 de este artículo. Demostrar el lema 2 de estas notas .	Restriccion de representaciones de S(n) a S(n-1).
21 abr - 15 mayo	Representaciones del grupo general lineal en el espacio del los tensores	Para el martes 29 de abril: Problemas de Notas num 4, sobre todo problema 4.11 .
20-30 mayo	Presentaciones de alumnos: Mario y Noemi: representaciones inducidas Cristobal y Rosenberg: representaciones de SU2

1. J. -P. Serre, linear representations of finite groups
2. Naimark y Stern, Theory of Group representations
3. Kirillov, elements of the theory of representations
4. Fulton y Harris, Representation Theory: A First Course PDF
5. Notas de un curso de teoria de representaciones en UC BErkeley.
6. C. Greene, A. Nijenhuis, H. Wilf, A probabilistic proof of a formula for the number of Young tableaux of a given shape, Adv. Math. 31 (1979) 104-109. PDF
7. A. M. Vershik, A. Yu. Okounkov, ``A new approach to the representation theory of the symmetric group"