Tarea núm. 3

1. Derivar las fórmulas para el coseno y seno hiperbólico de suma de ángulos usando las definiciónes cosh(t)=(e^t+e^-t)/2, senh(t)=(e^t-e^-t)/2, y la propiedad e^a+b=e^ae^b.

2. Consideramos la hipérbola H en el plano dada por la ecuación x² - dy²= 1, donde d es un entero positivo (d era 2 en el ejemplo visto en la clase).
   1. Demuestra que para todo t, el punto P_t en el plano con cooredenadas P_t=(cosh(t), senh(t)/d^1/2), se encuentra sobre la hipérbola H.
   2. Demuestra que todo punto P = (x, y) sobre H con x > 0 es de la forma P_t para algun t; o sea, que la fórmula del inciso anterior nos da una parametrización de toda la rama derecha de H.
   3. Expresa las coordenadas de P_t+s en términos de las coordenadas de P_t y P_s.
   4. Usando el inciso anterior, demuestra que si las cooredenadas de P_t y P_s son enteras, tambien las cooredenadas de P_t+s son enteras.
   5. (Opcional) Encontrar todos los pares de enteros positivos (a,b) tal que a² - 2b²= 1, y 0 < a , b < 30 .

3. Sea d un entero positivo no cuadrado (o sea, d es distinto de 1,4,9,16,... etc). Denotamos por Q[d^1/2] el conjunto de números reales de la forma a+b(d^1/2), donde a, b son números racionales. (Nota: d^1/2 denota la raiz cuadrada de d.)
   1. Demuestra que el conjunto Q[d^1/2] es un subcampo de R; o sea, la suma y el producto de elementos de Q[d^1/2] son elementos de Q[d^1/2], y el reciproco de un elemnto distinto de 0 en Q[d^1/2] es un elemento de Q[d^1/2].
      

   2. Demuestra que el conjugado del producto de dos números en Q[d^1/2] es el producto de sus conjugados.
      (Nota: el conjugado de a + b(d^1/2) es a - b(d^1/2).)

   3. Sea A el subconjunto de Q[d^1/2] que consiste en los números a+b(d^1/2) tal que a, b son enteros, a > 0, y satifacen la ecuación x² - dy² = 1 ( la Ecuación de Pell). Demuestra que A es un subgrupo multimplicativo de R (el producto de elemntos del conjunto, y el reciproco de elemntos del conjunto, estan en el conjunto).

   4. Demuestra que el subgrupo multimplicativo A del inciso anterior es cíclico (consiste en las potencias, positivas y negativas, de un solo elemento, llamado un generador del grupo).
      (Sugerencia: considera el elemento a + b(d^1/2) de A con a el positivo mínimo.)

   5. Encuentra un generador de las soluciones de la ecuación de Pell con d=3.

   6. (Opcional) Encuentra un generador de las soluciones de la ecuación de Pell con d=5.