Tarea núm. 2

Definiciones y resultados vistos en la clase:

Un triple de enteros a, b, c es un triple pitagórico si satisface la ecuación a² + b² = c².

Proposición: Sea C el círculo en el plano con radio 1 y centro en el origen (0,0). Sea l una línea en el plano que pasa por el punto P₀=(0,1) de C, un punto P=(t,0) del eje de x y otro punto P' de C. Entonces el punto P' tiene coordenadas racionales si y solo si t es racional.

Lema 1. Tomamos una ecuación cuadrática con cooeficientes racionales; o sea, ax²+ bx +c =0, con a,b,c números racionales, a distinto de 0. Suponemos que la ecuación tiene dos raices, x₁ y x₂, uno de los cuales, digamos x₁, es racional. Entonces el otro, x₂, también es racional.

Lema 2. Sea l una línea en el plano que pasa por dos puntos con coordenadas racionales. Entonces se puede describir la línea con una ecuación lineal con coeficientes racionales; o sea, una ecuación de la forma ax + by + c=0, con a,b,c números racionales.

Lema 3. Suponemos que C es una curva en el plano dada por una ecuación cuadrática con coeficientes racionales y que l es una línea dada por una ecuación con coeficientes racionales; o sea, C está dada por una ecuación de la forma Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F =0, con A,B,...,F números racionales, y l está dada por una ecuación de la forma ax + by + c=0, con a,b,c números racionales. Además, suponemos que C y l intersectan en dos puntos, uno de los cuales tiene coordenadas racionales. Entonces el otro punto también tiene coordenadas raci1onales.

1. Completar la demostración de los lemas y la proposición.

2. Escribir las coordenadas de P' en la proposición en términos de t y vice versa (t en términos de las coordenadas de P').

3. Encontrar todos los triples pitagóricos primitivos (o sea los triples pitagóricos (a,b,c) sin factor común), con a,b,c menores que 100.