Los ejercicios marcados con * son opcionales, pero les recomendo
(mucho) intentar hacerlos ya que son muy bellos.
Para una
aplicaci'on sorprendente (y profunda) del poblema 8 de la pag 246, y
sugerencias para resolverlo, ver el problema 15 (el último) de esta
página.
Sugerencia para el prob 14 de la pág. 177: al
transladar una recta y un plano no cambia el ángulo entre ellos; así
que puedes suponer que D=0 y
x0=y0=z0=0. Luego, el ángulo entre
una recta y un plano es 90 grados menos el angulo entre la recta y un
vector normal (=perpendicular) al plano. La ecuacion del plano te da
tal normal.
Sugerencia para 4 (pag 245): el segmento de recta mas
corto conectando dos rectas dadas es perpendicular a ambas rectas. El
producto vetorial de dos vectores te da un vector perpendicular a
ambos. Luego, es util saber "la regla de Cramer" (ver pag 200).
Sugrencias para el prob 5 (pag 245):
Un conjunto "convexo" en el plano es un conjunto
que contiene junto con cualquer par de puntos del conjunto todo el segmento de recta que conecta a estos dos puntos.
Por ejemplo el disco abierto x²+y²<1 es convexo pero su frontera x²+y²=1 no lo es.
Una idea para demostrar esta bonita fórmula es intentar escribir
el area del poligono como suma de areas de triangulos, todos con un
vertice comun en el origin. Lo importante es convencerse que no hay problema con los
signos de los determinantes en la formula.
Sugerencia para problema 9 (pag 246): se puede simplemente desarrollar
las expresiones dadas en coordenadas y confirmar que son
correctos. Esto funciona pero es tedioso y aburrido. Intente encontrar
"atajos"; es divertido y hay muchas posibilidades. Por ejemplo, en (a), observa que ambos
lados de la identidad son (multi) lineales en A,B,C, asi que es
suficiente checarlo para vectores A,B,C tomados de una base. Luego que
si B=C la identidad se satisface trivialmente (0=0), asi que tomas
vectores A,B,C de una base con B y C distintos. Con algunos
observaciones mas de este tipo, la verificacion de la identidad se
reduce a muy poco.
La identidad c del prob 9 es una consecuencia de otra identidad
bonita e importante, que por alguna razon no la encuentro en el libro: