Curso de la Licenciatura en Matemáticas de la UG:

Cálculo 3: aug-dic 2005.

Profesor: Gil Bor, oficina F-7, ext 49500, gil@cimat.mx, http://www.cimat.mx/~gil.

Ayudantes del curso: Homero Gallegos + Samuel Estela.

Horario: Clase: martes a jueves , 12:30 - 14:00. Sesión de problemas: lunes 12:30 - 14:00. Lugar: Salon 6 del FAMAT.

Dirigido a: estudiantes del tercer semetre de la licenciatura de matemáticas o computo del FAMAT.

Pre-requisitos: Cálculo 1 y 2, alg lin 1

Contenido:

Desripción del curso:

Este curso es una continuación de los cursos de cálculo 1 y 2. El curso se trata de la generalización de los conceptos y resultados de cálculo de una variable (continuidad, derivada e integral de funciones reales de una variable) a funciones de varios variables. Algunos resultados se generalizan inmediatamente sin mayores esfuerzos (continuidad), otros son más sutiles (integración). En general, el ambiente es mucho mas geométrico que en los primeros cursos de cálculo. Para fines de aplicaciones de las matemáticas en la ciencias naturales, sobre todo la física, es un curso clave.

Seguimos el temario oficial (excepto la parte 4, que fue cubierta al aparecer en cálculo 1 y 2).

El libro de texto principal es de Courant y John. El libro secundario es de Marsden y Tromba. Ambos libros tienen defectos y esperamos que sus ventajas complementen uno al otro. El problema principal del libro de Courant y John es que no está escrito en el estilo estrictamente formal de definición/teorema/demostración. Esto hace que se vueleve a veces trabajoso encontrar en el texto una definición o resultado requerido. Un problema menor es que hay varios errores de la traducción a español (la mayoría errores tipográficos pequeños). Pero por otro lado el material en este libro es muy bueno, tiene muchos ejercicios interesantes y sí incluye todas las demostraciones formales necesarias. El libro de Marsden y Tromba es mas legible, pero es muy diluido. Ambos libros estan en reserva en la biblioteca.

La participación en las clases no es obligatoria pero altamente recomendada, ya que el aspecto intuitivo del material, que es esencial, es casi imposible de transmitir en texto. Habrá tarea semanal, 1-2 exámenes parciales y exámen final. Entregar la tarea cada semana es obligatorio.

Intentare mantener en esta página una bitacora detallada del curso.

Tarea:

Hacer la tarea es esencial para seguir el curso y digerir el material. La tarea aparece tipicamente el viernes de cada semana, en esta pagina, para entregar el próximo viernes al inicio de la sesión de problemas. Es obligatorio entregar toda la tarea a tiempo. Si no sabes como hacer algunos problemas tienes que buscar ayuda, por ejemplo en la sesion de ayudantia (jueves por la tarde), o en mi oficina (tipicamente estoy en las tardes). Puedes llamar a mi extension (49500) antes de subir a mi oficina. Si no me encuentras me escribes un email para hacer una cita, o simplemente haces tu pregunta durante la clase.

Calificación de la tarea

Bitácora

Semana Material Tarea Comentarios

8-12 aug Abiertos y cerrados en Rⁿ. Continuidad y curvas de nivel de funciones en Rⁿ. Tarea num. 1
Pág. 35: 1. (a), (b); 3; 5.
Pág. 36: 2, 4.
Pág. 41 y 42: 2. (a), (d), (g), (k), 2(p); 4. (c), (d).

15-19 aug Tarea num. 2.
Págs. 51 y 52: 17, 18, 19.

22-26 aug
Derivadas parciales, derivada direccional.
Teoremas: 1. si las drivadas parciales de una funcion estan localmente acotadas la funcion es continua. 2. igualdad de las derivadas mixtas.
Tarea num 3 (para el viernes 26 aug):
Pag 56-57: 1a, 1f, 6,8,10.
Pag 58: 1.
Tarea num 4 (para el viernes 2 sept)
Usar en los ejercicios la regla de la cadena.

29 aug
- 2 sept
Martes: existencia y linearidad de la derivada, para una funcion con derivadas parciales continuas.
Miercoles: diferenciabilidad; diferenciabilidad implica continuidad.
Jueves: regla de la cadena.
Tarea num 5 (para el viernes 7 sept)

4-9 sept Ejemplos de funciones diferenciables. El gradiente., El problema de Steiner.
Tarea num 6 (para el martes 20 sept)
El problema de Steiner aparece en la página 380 del libro de Courant y John. En el libro de Courant y Robbins "Qué son las matemáticas" hay mucha más información sobre este interesante problema.

11-16 sept Cambio de coordenadas. Material para el 1er examen parcial:
tarea 1-6 mas esta pagina. El jueves 15 de sept la clase es opcional (no vamos a ver cosas nuevas). El 16 de sept no hay sesion de probolemas. La tarea num 6 se entrega el prox martes (20 de sept). El viernes 23 de sept es el primer examen parcial..

18-23 sept Repaso; coordenadas polares; curvas parametrizadas; demostracion detallada (incluso caso general) del teorema que dice que una funcion con derivadas parciales continuas es diferenciable. Tarea num. 7:
(ver los comentarios a la derecha)
p. 176: 1,2
p. 292: 1a,1f,1h,2,4
p. 295: 2,3.
p. 298: 1

prob. 4 de la p. 292: biunívoca=biyectiva
prob. 1 de la p. 298: los tres denominadores son x²+y²+z²

25-30 sept
Martes: resolviedo examen parcial 1.
Miercoles: no hay clase (dia de la alhondiga?)
Jueves:recta, subespacio afin, sistema homogeneo/inhomogeneo de ecuaciones lineales, parametrizacion coordenada de una recta (o subespacio afin).
Examen parcial 1a: Viernes 7 oct
En el 1er examen parcial a la mayoria de los alumnos no le fue bien . En este examen tienes una oportunidad de corregir esto. Este examen sera bastante similar en formato y contenido al 1er examen. Para preparar a este examen tienes a la derecha una "guia de estudio" Guia de estudio para el examen 1a:
Asegurar que entiendes como resolver el 1er examen. Ver Soluciones al 1er examen parcial.
Resolver los problemas en la hoja de Material para preparacion al 1er examen
Leer las definiciones y demostrar las proposiciones y teoremas en el Resumen de los conceptos y teoremas vistos en el curso.
Resolver estos ejercicios tipo "cierto o falso"

11-15 oct
Geom analitica, producto escalar, determinante/area/volumen..
Tarea num 8
Pag. 176-177: 3, 4, 5,6.

18-21 oct
Geom analitica, producto vectorial.
Tarea num 9 (para el viernes 18 oct).
Pag 177: 14.
Pag 245-246: 2*, 3, 4,5, 6, 7*, 8*, 9. Ver comentarios y sugerencias aqui .

25-28 oct
No hay clases (congreso nacional de la SMM)
Tarea num 10 (para el lunes 31 oct).
Pag 195: 5,6,15
Pag 216: 2,9,12 (opcional), 14
Pag 246: 11
Nota el cambio de horario ayudantia.
En prob 14 de la pag 218: "transformacion afin no singular" significa una funcion biyectiva f:R² -->R² de la forma f(x,y)=T(x,y)+(a,b), donde T es una transformacion lineal y (a,b) es un vector (fijo).

31 oct - 3 nov Teorema de Taylor. Tarea num 11 (para el lunes 7 nov).
Pag 99, ejercicios 1.7c: 1, 3, 7.
Pag 99, problemas 1.7c: 1, 2, 3, 4 (opcional).
Demostrar el teorema de Taylor para una funcion de una variable, con resíiduo de Lagrange. (Busca en tu libro favorito de Calculo 1).
Segundo examen parcial: lunes 14 nov.
Material: tarea 7,8,9,10,11.

7-10 nov Teorema de la fucnion implicita

14-17 nov Teorema de la funcion implicita Tarea num 12 (para el lunes 21 nov).
Pag 270: 1, 2, 4, 5, 6.
Pag 276: 3.
Formular y demostrar el teorema de funcion implicita para una funcion real de n variables (pag. 274). .

La formulacion del teorema de funcion implicita en la pag. 274 es algo informal (por ejemplo no precisa el dominio de la funcion F; es un abierto en Rⁿ⁺¹). Hay que hacerlo formal y preciso.
en el ej. 4 de la pag. 270, una funcion f es "convexa" si f''>0.

21-24 nov Aplicaciones del teorema de funcion implicita: curvatura de curvas en el plano. Tarea num 13 (para el lunes 28 nov).
Pag 274: 2,3.
Pag 281: 1a,b,f; 2,3,4,5, 6 (opcional).

En prob 4, pag 281: "punto de inflexion" de una curva es un punto en donde la curvatura se anula (k=0).
miercoles 22 nov, 5:15pm: sesion de solucion del examen parcial num 2.

28 nov- 2 dic Multiplicadores de Lagrange Examen final: martes, 6 dic, 11am. Material: todo el curso. Mismo dia 14:00: dia de campo en la sierra.
FOTOS

Bibliografía:

Courant y John, Introducción al cálculo y al análisis matemático, Vol. 2.
Esta es la referencia principal.
Marsden y Tromba, Cálculo vectorial.
algunos applets interesantes

Ambos libros estan en reserva en la biblioteca (tambien una copia en ingles del 1ero).

Examenes:

2 examenes parciales + final.

Primer examen parcial: viernes 23 de sept, 2005.
- Material para el examen: tarea 1-6 mas esta página.
- El examen
- Soluciones.
- Calificaciones
Reposición del 1er examen parcial: viernes 7 de oct, 2005.
- Resumen detallado del material del curso .
- Ejercicios "cierto o falso" para la preparaci'on al examen
- El examen
- Calificaciones
Segundo examen parcial: lunes 14 nov, 2005. Material: tarea 7,8,9,10,11.
- El examen
- Calificaciones
Examen final: martes, 6 dic, 11am. Material: todo el curso.
- El examen
Reposición del examen final: martes, 10 ene 2006, 11am.
- El examen

Calificación:

Tarea: 15%; parciales: 20%; final: 65%.

Calificaciones del curso

Semana	Material	Tarea	Comentarios
8-12 aug	Abiertos y cerrados en Rⁿ. Continuidad y curvas de nivel de funciones en Rⁿ.	Tarea num. 1 Pág. 35: 1. (a), (b); 3; 5. Pág. 36: 2, 4. Pág. 41 y 42: 2. (a), (d), (g), (k), 2(p); 4. (c), (d).
15-19 aug		Tarea num. 2. Págs. 51 y 52: 17, 18, 19.
22-26 aug	Derivadas parciales, derivada direccional. Teoremas: 1. si las drivadas parciales de una funcion estan localmente acotadas la funcion es continua. 2. igualdad de las derivadas mixtas.	Tarea num 3 (para el viernes 26 aug): Pag 56-57: 1a, 1f, 6,8,10. Pag 58: 1. Tarea num 4 (para el viernes 2 sept)	Usar en los ejercicios la regla de la cadena.
29 aug - 2 sept	Martes: existencia y linearidad de la derivada, para una funcion con derivadas parciales continuas. Miercoles: diferenciabilidad; diferenciabilidad implica continuidad. Jueves: regla de la cadena.	Tarea num 5 (para el viernes 7 sept)
4-9 sept	Ejemplos de funciones diferenciables. El gradiente., El problema de Steiner.	Tarea num 6 (para el martes 20 sept)	El problema de Steiner aparece en la página 380 del libro de Courant y John. En el libro de Courant y Robbins "Qué son las matemáticas" hay mucha más información sobre este interesante problema.
11-16 sept	Cambio de coordenadas.	Material para el 1er examen parcial: tarea 1-6 mas esta pagina.	El jueves 15 de sept la clase es opcional (no vamos a ver cosas nuevas). El 16 de sept no hay sesion de probolemas. La tarea num 6 se entrega el prox martes (20 de sept). El viernes 23 de sept es el primer examen parcial..
18-23 sept	Repaso; coordenadas polares; curvas parametrizadas; demostracion detallada (incluso caso general) del teorema que dice que una funcion con derivadas parciales continuas es diferenciable.	Tarea num. 7: (ver los comentarios a la derecha) p. 176: 1,2 p. 292: 1a,1f,1h,2,4 p. 295: 2,3. p. 298: 1	prob. 4 de la p. 292: biunívoca=biyectiva prob. 1 de la p. 298: los tres denominadores son x²+y²+z²
25-30 sept	Martes: resolviedo examen parcial 1. Miercoles: no hay clase (dia de la alhondiga?) Jueves:recta, subespacio afin, sistema homogeneo/inhomogeneo de ecuaciones lineales, parametrizacion coordenada de una recta (o subespacio afin).	Examen parcial 1a: Viernes 7 oct En el 1er examen parcial a la mayoria de los alumnos no le fue bien . En este examen tienes una oportunidad de corregir esto. Este examen sera bastante similar en formato y contenido al 1er examen. Para preparar a este examen tienes a la derecha una "guia de estudio"	Guia de estudio para el examen 1a: Asegurar que entiendes como resolver el 1er examen. Ver Soluciones al 1er examen parcial. Resolver los problemas en la hoja de Material para preparacion al 1er examen Leer las definiciones y demostrar las proposiciones y teoremas en el Resumen de los conceptos y teoremas vistos en el curso. Resolver estos ejercicios tipo "cierto o falso"
11-15 oct	Geom analitica, producto escalar, determinante/area/volumen..	Tarea num 8 Pag. 176-177: 3, 4, 5,6.
18-21 oct	Geom analitica, producto vectorial.	Tarea num 9 (para el viernes 18 oct). Pag 177: 14. Pag 245-246: 2, 3, 4,5, 6, 7, 8*, 9.	Ver comentarios y sugerencias aqui .
25-28 oct	No hay clases (congreso nacional de la SMM)	Tarea num 10 (para el lunes 31 oct). Pag 195: 5,6,15 Pag 216: 2,9,12 (opcional), 14 Pag 246: 11	Nota el cambio de horario ayudantia. En prob 14 de la pag 218: "transformacion afin no singular" significa una funcion biyectiva f:R² -->R² de la forma f(x,y)=T(x,y)+(a,b), donde T es una transformacion lineal y (a,b) es un vector (fijo).
31 oct - 3 nov	Teorema de Taylor.	Tarea num 11 (para el lunes 7 nov). Pag 99, ejercicios 1.7c: 1, 3, 7. Pag 99, problemas 1.7c: 1, 2, 3, 4 (opcional). Demostrar el teorema de Taylor para una funcion de una variable, con resíiduo de Lagrange. (Busca en tu libro favorito de Calculo 1).	Segundo examen parcial: lunes 14 nov. Material: tarea 7,8,9,10,11.
7-10 nov	Teorema de la fucnion implicita
14-17 nov	Teorema de la funcion implicita	Tarea num 12 (para el lunes 21 nov). Pag 270: 1, 2, 4, 5, 6. Pag 276: 3. Formular y demostrar el teorema de funcion implicita para una funcion real de n variables (pag. 274). .	La formulacion del teorema de funcion implicita en la pag. 274 es algo informal (por ejemplo no precisa el dominio de la funcion F; es un abierto en Rⁿ⁺¹). Hay que hacerlo formal y preciso. en el ej. 4 de la pag. 270, una funcion f es "convexa" si f''>0.
21-24 nov	Aplicaciones del teorema de funcion implicita: curvatura de curvas en el plano.	Tarea num 13 (para el lunes 28 nov). Pag 274: 2,3. Pag 281: 1a,b,f; 2,3,4,5, 6 (opcional).	En prob 4, pag 281: "punto de inflexion" de una curva es un punto en donde la curvatura se anula (k=0). miercoles 22 nov, 5:15pm: sesion de solucion del examen parcial num 2.
28 nov- 2 dic	Multiplicadores de Lagrange		Examen final: martes, 6 dic, 11am. Material: todo el curso. Mismo dia 14:00: dia de campo en la sierra. FOTOS