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Material |
Tarea |
Comentarios |
Enero
27-30 |
Martes: funciones multilineales (formas k-lineales)
en un espacio vectorial, la dimensión del espacio de tales
funciones.
Miercoles: funciones multilineales alternadas. El determinante de
una matriz.
Jueves: existencia y unicidad del determinante.
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Tarea 1 (del libro
de texto del curso, para el viernes 30 de enero):
pag. 147: 1 (ver la "explicacion" en la pag. 141)
pag. 148: 12, 13.
Tarea 2 (para el viernes 6 de feb).
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Estamos cambiando en la clase un poco el
orden de las cosas: saltamos por el momento el Cap. 4 y mas tarde
regresamos a este
capítulo. Dentro del Cap. 4 empezamos con las definiciones
que se ve en la sección 5.6 (pag. 164). Una buena referencia
para la manera que estamos presentando el tema del determinante en
la clase son las notas de Katzenelson (ver la Bibliografia ), Cap. IV (pag 36).
Hay un error en el problema 13c de la pag 149: debe ser D(B) = -D(A).
En el problema 1 de la pág. 147, "multi-lineal" quiere decir
lineal en cada fila de la matriz A (ver la definición de la pág.
141). En general, una función de A, multilineal con respecto a las
filas, no es necesariamente multilineal con respecto a las
columnas (contrario a lo que dije en la clase del Jueves); lo que sí es
cierto es que las funciones multilineales con respecto a las
filas y que son alternadas, son tambien multilineales
con respecto a las columnas (como vamos a demostrar pronto).
Cada vez donde se menciona en el libro "anillo conmutativo"
pueden suponer que es un campo (e.g. al inicio de la sección 5.6,
pág. 164). Donde se menciona "un módulo sobre un anillo
conmutativo"
pueden suponer que es un espacio vectorial sobre un campo.
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feb
3-6 |
Permutaciones: signo (teorema de multiplicidad del signo), transposiciones. Continuacion de
la demostracion del teorema de
existenecia y unicidad del determinante.
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Tarea 3 (para el viernes 13 de feb).
Soluciones
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feb
10-13 |
Martes: clase cancelada (visita del rector).
Miercoles: la demostracion de la existencia de una funcion
n-lineal alternada no nula en un espacio vectorial de dim=n.
La definicion de la determinante de una matriz.
Jueves: las propiedades principales de la funcion determinante
(det(AB)=det(A)det(B), det(A)=0 ssi A no es invertible etc).
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Tarea 4 (para el viernes
20 de feb).
Soluciones
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La demostracion de
Katzenelson en la pagina 34, de que
la formula 4.1.7 es alternada,
no es valida en toda generalidad, porque solo implica la formula
4.1.4, la cual implica "alternada" solo para un campo de
caracteristica distinta de 2. La demostracion que dimos en la clase
del 11 de feb no sufre de este defecto (aunque es mas
larga. . . ). De todos modos les sugiero estudiar esta elegante
demostracion de Katzenelson, sobre todo intentar a justificar la
segunda igualdad de la formula 4.1.8.
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feb
17-20 |
Martes: valores y vectores propios, el espectro de un operador lineal. Ejemplos.
Miercoles: un operador lineal en V tiene no mas que dim(V) valores
propios. El polinomio característico de un operador
lineal.
Jueves: Introducción a la teoría de polinomios de una variable con
coeficientes en un campo.
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Tarea 5 (para el viernes 27 de feb, 2004).
Pag. 188: 1,2,3,4,7.
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feb
24-27 |
Martes: discusion y solucion del problema 4 de la tarea 4.
Miercoles: discusion y solucion de problemas de la tarea 5
(problema 1 y 4 de la pagina 188).
Jueves: discusion y solucion del problema 2 de la tarea 4.
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Tarea: no hay para esta semana (se preparan el examen
parcial). |
Examen parcial num 1: jueves 4 de marzo. Material:
tarea 1-5.
Tenemos una liga nueva a la Calificación de la
tarea.
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marzo
2-5 |
Martes: espacios euclideanos (espacio con producto interno).
Miercoles: bases ortonormales.
Jueves: Parcial #1
Soluciones al Parcial #1 |
Tarea num 6:
pag. 273: 1, 5, 11*
pag. 286: 2, 4, 5,9b,11,14
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el problema 11 de la pag 273 es opcional
Nosotros consideramos (por el momento) solamente espacios
vectoriales reales
con producto interno.
En el libro tambien consideran espacios complejos pero esto lo
introducimos mas tarde.
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marzo
9-12 |
Martes: Ortogonalizacion de Gramm-Schmidt, desigualdad de Cauchy Schwartz.
Miercoles: identidad del paralelogramo; suma directa de
sub-espacios; el complemento ortogonal de un subespacio.
Mas sobre suma directa. Proyeccion sobre un subespacio (a lo
largo de otro). Proyeccion ortogonal.
| Tarea num 7 (para el viernes 19 de marzo):
pag. 273: 9.
Pags. 286-288: 1, 6, 7*,8,9a, 12, 13, 16*, 17*
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Los resultados de examen parcial num 1 muestran que varios alumnos,
a pesar de ser muy listos etc, no estudian bien. Capaz esta liga les
ayude ("tutorial" se refiere a la tarea).
El lunes 15 de marzo, a las 1:00pm (despues del examen de
probabilidad) tenemos una sesion
de
discusion sobre el examen parcial num 1.
Los problemas marcados con estrella (7,16,17 de la pag 287-8) son
opcionales, pero altamente recondedados.
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marzo
16-19 |
Martes: mas sobre proyecciones ortogonales, formulas y algunos ejemplos,
Cauchy-Schwartz
redemostrado (como consecuencia del teorema de pitagoras).
Miercoles-Jueves: isometrias. Clasificacion de isometrias de R².
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Tarea num 8 (para el viernes 26 de marzo)
Coreccion del problema 2 de esta tarea
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marzo
23-26 |
Martes: el teorema de representacion de Riesz (cada funcional
lineal en un espacio euclideano se puede "representar" mediante el
producto punto con un unico elemento del espacio).
Miercoles: la adjunta de una transformacion
lineal entre dos espacios euclidianos. Operadores auto-adjuntos
(o simetricos).
Jueves: un operador auto-adjunto es diagonalizable.
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Tarea num 9
por enregar a los ayudantes el jueves 1 de abril, con la
excepcion del problema 4.
| Wikipedia es una enciclopedia
en linea con mucho material interesante, tambien en matematicas,
aun en español
(pero hay mucho mas en ingles - asi es). Puedes intentar por ejemplo hacer una
busqueda de "euclidean space", "riesz representation theorem" o "nine point
circle" (en la version en ingles).
Hice un error en el problema 3 de la tarea 8. Por favor ver la Coreccion.
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marzo 30
- abr 1 |
Martes: los valores propios de un operador autoadjunto son reales.
Miercoles: el teorema fundamental del algebra.
Jueves: diagonalizacion de formas cuadraticas.
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Tarea 10
(por enregar el viernes 23 abril)
problema 4 de la tarea 9
pag. 320: 2,5.
Encuentra los valores A,B,C para los
cuales la figura en
el plano R² dada por la ecuacion
Ax²+Bxy+Cy²=1 es una elipse (esto incluye un circulo),
hiperbola, parabola o el
conjunto vacio.
| Examen parcial num 2: martes 20 abril,
12:30, salon 5. Material: tarea 1-9.
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abril
20-23 |
Martes: Examen parcial num 2
Miercoles: espacios hermitianos (espacios vectorial complejo con
producto interno).
Jueves: todo operador hermitiano es diagonalizable (unitariamente
conjugado a una matriz real).
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Tarea 11
(por entregar el viernes 30 de abril)
pag 286: 3.
pag. 287: 10.
pag. 295: 1, 2, 3, 6, 12.
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abril
27-30 |
Martes y Miercoles: solucion del examen parcial num. 2,
problemas de la tarea.
Jueves: operadores normales.
| Tarea 12
(por entregar el viernes 7 de mayo)
pag 296: 4, 7, 8, 9, 10, 11.
pag. 307: 10.
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mayo
4-7 |
Martes: un operador en un espacio hermitiano es unitariamente diagonalizable ssi
es normal.
Miercoles: anunciado de los teoremas de Cayley-Hamilton y de
Jordan.
Jueves: clasificacion de secciones conicas.
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Tarea 13
(por entregar el viernes 14 de mayo)
pag. 313: 2, 4, 5, 6, 8, 11, 12, 13.
| para el problema 11: un operador T es nilpotente si existe un
n tal que Tn=0. |
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mayo
11-14 |
Martes-Jueves: clasificacion de secciones conicas; congruencias.
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Tarea 14
| Los alumnos que no llegaron a la clase
por favor
pedir notas de la clase de los alumnos que si llegaron para ver las
definiciones relevantes (como "seccion conica" y "conguencia").
El problema 2 viene del final de este texto, que les puede
ayudar en hacer la tarea.
El texto completo es un libro bastante bonito (aunque
algo elemental para el nivel de nuestro curso) y que se encuentra aqui
Si te interesa este tema, aqui esta un gran libro. No conozco bien el libro pero me da buena
impresion. Puedes por ejemplo ver los problemas de la ultima
pagina (p.525), o el teorema de Newton (p.167), para darte idea
de lo lejos que llega este tema.
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mayo
18-21 |
Martes: inicio de la demostracion del teorema de Cayley
Hamilton; todo ideal en el anillo de polinimios con una variable
con coeficientes en un campo es principal; el anulador de un operador
es un ideal (principal).
Miercoles y jueves: completar la demostracion del teorema de
Cayley Hamilton (siguiendo la demostracion de la pag. 193-5 del
libro).
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Tarea 15
(por entregar el viernes 28 de mayo)
pag. 196-197: 1, 2, 3,4,5, 6, 7*, 8,9*
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Ejercicios 7 y 9 (marcados con estrella) son
opcionales.
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mayo
25-29 |
Martes: Espacios cocientes.
Miercoles: un ejemplo de un espacio vectorial de dimension
infinita con subespacio con codimension finita (=el cociente tiene
dimesnion finita). Triangulacion de operadores lineales en espacios
vectoriales complejos.
Jueves: ejemplo de triangulacion de operadores.
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Material para el examen final |
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junio
2-6 |
martes: una segunda demostracion del teorema de Cayley
Hamilton (usando espacio cocientes y vectores ciclicos).
miercoles-jueves: demostracion del teorema de Jordan;
la coprrespondencia entre factorizacion de polinomios anuladores
de un operador en
factores primos relativos y la descomposicion del operador en suma
directa de operadores; la multiplicidad geometrica y algebraica de
un valor propio, espacio propios generalizados. Nos falto la
clasificacion de operadores nilpotente para completar la
demostracion.
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