Curso de la Licenciatura en Matemáticas de la UG:

Algebra Lineal 1: agsto-dic 2003.

Profesor: Gil Bor, oficina F-7, ext 49500, gil@cimat.mx, http://www.cimat.mx/~gil.

Asesoría: de Lunes a Jueves, de 5-7pm en el salón 6 del FAMAT.

Ayudantes del curso: Quiñónez Estrella Russell Aarón (russell@cimat.mx) y Víctor Pérez García (vicpega@cimat.mx) (estudiantes del programa de posgrado del CIMAT).

Horario: Clase: lunes a jueves , 12:30 - 14:00. (la clase de Lunes es opcional (tipicamente material "divertido"). Sesión de problemas: viernes 12:30 - 14:00. Lugar: Salon 5 del FAMAT.

Dirigido a: estudiantes del primer semetre de la licenciatura.

Pre-requisitos: ningunos.

Desripción del curso:

Temario: el temario aparece aquí. La primera parte de este temario ("introducción") se cubrirá en las priemras 3-4 semanas del curso usando el libro de Courant y Robbins (ver abajo en Bibliografía). La segunda parte ("álgbra lineal") en el resto del curso. El curso es abstracto pero no es dificil (comparado con cálculo). Sin embargo, es un curso muy importante y pre-requisito para muchos otros (por ejemplo, ecuaciones diferenciales).

Los retos principales del curso:

Escribir demostraciones rigurosas: en el curso enfatisamos mucho dar demostraciones rigurosas de todos los resultados (casi). El lenguaje es formal y preciso y los estudiantes deben dominar este lenguaje en el curso. Nota: es recomendado imitar el maestro (yo), por lo menos al principio. Una demostración tiene que anunciar con claredad y precisión las suposiciones (los hechos dados), los teoremas usados durante la demostración, y seguir de ahi por una deducción lógica, tambien claramente relatada, hasta llegar a la conclusión deseada.
Digerir los conceptos de espacio vectorial, campo, base, dimensión, y transformación lineal. Estos conceptos son sumamente profundos y centrales en todas las áreas de las matemáticas y el reto es entenderlos desde el punto de vista abstracto (sin coordenadas). La única manera de llegar a esta comprensión es atraves del conocimiento detallado de muchos ejemplos, algunos vistos en clase, pero la mayoría en la tarea.
Aplicar la teoría abstracta en ejemplos concretos. El la clase vemos algunos ejemplos concretos pero la mayoría de tiempo nos pasamos en teoría (definiciones, teoremas, demostraciones). En las sesiones de problemos se ven la mayoría de las aplicaciones y se hacen "cuentas".

Recomendaciones para estudiar: ademas de las sesiones de problemas con los ayudantes del curso existen las asesorias (lunes-jueves, 5-7pm, salon 6). Además, puedes buscar al maestro (yo) y ayudantes en otras horas que los encuentras en sus oficinas o en el CIMAT. Te recomendo intentar otros problemas del libro, aun que no esten asignados por entregar. Es recomendable estudiar junto con alumnos de tu nivel. Pero la tarea por entregar tienes que hacerla solo.

Tarea:

La tarea se da el viernes de cada semana para entregar el próximo viernes en la sesión de problemas. Hacer la tarea es esencial para seguir el curso y digerir el material.

Semana Material Tarea Comentarios Ligas para aprender más

Agsto
6-8 Primeros conceptos de conjuntos: intersección, unión, diferencia, el conjunto vacio; propiedades de estos conceptos.
Tarea 1
(para el 15 de agsto)
corrección
soluciones
History of set theory.
(set theory = teoría de conjuntos).

Agsto
11-15 Funciones: dominio, codominio, valor, inyección, suprayección, biyeccion, composición de funciones, la función identidad de un conjunto, función inversa; equivalencia de conjuntos, conjunto finito/infinito/numerable, conjunto potencia de un conjunto.
Tarea 2
(para el 22 de agsto)

Favor de leer con cuidado las deficiones al principio de la Tarea.
Se puede usar en la tarea inducción matemática.
(21/8) Los problemas 4 y 5 de esta tarea se puede entregar hasta el 29 de agosto.
soluciones (problemas 1,2,3 solamente).

Esta semana habia clases solo el lunes y miercoles. La clase de miercoles la dió Luis Hernandez.
La clase de Luis fue algo densa. La próxima semana habrá una revisión de esta clase.
Un libro que te puede ayudar con este material (más que el libro de Courant y Robbins) es el de Halmos, "Naive set theory".

Cultura general: LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES
En español, con buenos "applets".
Sobre el "principio de Inclusion-Exclusion"

Agsto
18-22
Martes y miercoles: no introducimos cosas esencialemnte nuevas, digerimos material de la semana pasada. Demostramos que la composición de funciones inyectivas es inyectiva. Vimos que el converso es falso (mediante un contra ejemplo).
Jueves: producto cartesiano de conjuntos. Relaci'on en un conjunto.

Tarea 3
(para el 29 de agsto)
Se pospone la entrega de tarea 3 hasta el miercoles 3 de sept
soluciones.

Mas Applets.
Muy buen sitio de divulgación matemática; mira por ejemplo la sección de algebra

Agsto
25-29
Lunes: clase opcional (ayuda en cálculo, coeficientes binomiales, inducci'on).
Martes: ejemplos de relaciones. Relación de equivalencia. Clases de equivalencia.
Miercoles: particiones y relaciones de equivalencias. Ejemplos.
Jueves: definición de anillo (conmutativo con unidad), campo. Ejemplos.
Tarea 4
(para el 5 de sept)
soluciones.
El primer examen parcial es el Martes, 9 de sept. Material: tareas 1 - 4.

Sept
1-5
Lunes: clase opcional: presentación de algunos temas que podemos explorar en futuras sesiones.
Martes: soluci'on de problemas de la tarea 4 (1a y 1e). Propiedades de campos (consecuencias de las axiomas).
Miercoles: explicación sobre el problema 1 de la tarea 2 (como empezar a resolver tal problema). Mas propiedades de campos y anillos. Ejemplo de un campo con 2 elementos.
Jueves: mas propiedades de campos y anillos. Un ejemplo de propiedad de campos que no es una consecuencia facil de los axiomas ("si la caracteristica de un campo no es 0 entonces es un ´umero primo").
Tarea 5
(para el 12 de sept)
Soluciones

Sept
8-12
Lunes: clase opcional: repaso para el examen; discución sobre un problema de la teoria de Ramsey ("cada grafica infinita completa, cuyo conjunto de aristas esta pintado en dos colores, contiene una subgrafica infinita completa monocromatica.")
Martes: Examen parcial num. 1.
Miercoles: Los enteros mod n. Definición de las operaciones de suma y producto y demostración que cumplen los axiomas de anillo.
Jueves: dos demostraciones de que Z/pZ es una campo (p es un primo).
Tarea 6
(para el 19 de sept)
Soluciones
Pueedes usar para esta tarea esta Introducción elemntal a la teoria de números (PDF, 21 paginas, 235KB)

Sept
15-19
Miercoles+ Jueves: definición de espacio vectorial, subespacio vectorial, ejemplos.
(NOTA: el martes no hubo clase -- 16 de sept).
Tarea 7 (para el 26 de sept): del libro de Hoffman y Kuntz (hay copias en reserva en la biblioteca):
pag 33: 1,2,6.
pag 39: 1,2,6
Nota: usar en estos ejercicios la definición de subespacio vectorial que dimos en la clase .
El examen parcial núm. 1 fue corregido pero no calificado porque la gran mayoría de los alumnos tuvieron muchas dificultades. Hay que leer con cuidado las correcciones y entregar este examen, bien-hecho, el día 3 oct (viernes), en la sesión de problemas. Esto sí lo vamos a calificar. Los dias 1,2 de octubre los ayudantes estarán en la clase para ayudarles en esto.

Sept
22-26
Lunes (material opcional): sobre teoria de juegos; el problema de repartición de pastel entre N copetoderes; el dilmea (paradoja) del prisionero.
Martes: mas ejemplos (esp y subespacio vectorial). Definicion de =sub. esp generado por un subconjunto C de un esp vect. Algunas proposiciones acerca de estos conceptos.
Miercoles+jueves: definicion de conjunto linealmente dependiente/independiente; ejemplos en R²
Tarea 8
(para el 3 de oct):

Sept 29 -
oct 3 Esta semana no voy a estar. Lunes no hay clase. El martes si hay (por un substituto). Miercoles y jueves los ayudantes estaran en clase para asistir en la preparacion de la re-entrega del examen parcial (para el viernes 3 oct). Tarea 9
(para el 10 de oct):
Pag. 39: 8,9 (ver la definicion de la pagina 7)
Pag. 48: 1,2,5,9.

Oct 6 -
oct 10 Definicion de espacio vectorial de dim finita. Tarea 10
(para el 24 de oct):
Pag. 48: 4, 13, 14^*.
Pag 54: 1, 4, 6a, 7.
^*El problema 14 de la pag. 48 es opcional.

Oct 13 -
oct 17 No hay clases (Congreso nacional)

Oct 20 -
oct 24
Martes: demostracion del teorema que afirma que en un espacio vectorial de dim finita todas las bases tiene el mismo numero de elementos (usando el lema de substitucion de Steinitz). Definicion del concepto de "sistema de ecuaciones lineales" (homogeneo e inhomogeneo).
Miercoles y Jueves: las coordenadas de un vector con respecto a una base. La formula para cambio de coordenadas (al cambiar de una base a la otra). Multiplicacion de matrices, la inversa de una matriz, la matriz identidad. La matriz de transicion de una base B a B' es la inversa de la matriz de la trasicion de B' a B.
Tarea 11
(para el 31 de oct)
Pag 11: 8.
Pag 15: 4,5,8.
Pag 20: 1, 5,6
Pag 26: 5,9.

Oct 27 -
oct 31 Definicion de transformacion lineal, ejemplos y propiedades basicas, demostracion del teorema: dim Ker + dim Im = dim dominio. Tarea 12
(para el 7 de nov)
Pag 73: 1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12^*

Problema 12 es opcional.
Problema 11 es importante conceptualmente. Por favor preguntarme si requiere ayuda.
rango := la dimension de la imagen, nulidad:=la dimension del Kernel (=espacio nulo). Ver las definiciones en la pag 71.

Nov 3 - 7
Martes: isomorfismos entre espacio vectoriales.
>Miercoles: la matriz de una transformacion lineal (con respecto a unas bases)
Jueves: el espacio dual, la base dual a una base.
Tarea 13
(para el 14 de nov)
pag 94: 2,5,9,10
pag 104: 1,2,6.
El examen parcial num 2 es el miercoles 19 Nov. Meterial: tarea 7-12.
Ver lista de problemas para ayudar a preparar al examen.

Nov 10 -14
Martes: La transpuesta de una transformacion lineal y su matriz. El anulador de un subespacio.
Miercoels y Jueves: Ker T^t= (Im T)⁰, Im T^t= (Ker T)⁰.

Nov 17 -21
Martes: solucion de algunos problemas de la hoja de problemas para el examen.
Miercoeles: examen parcial num 2.
Jueves: 20 de nov (no hay clases).

Nov 24 -28
Martes: el doble dual y el isomorfismo canonico.
Miercoles y Jueves: preparacion al examen final.
El examen final es el miercoles 3 dic, a las 11am. Ver lista de problemas para ayudar a preparar al examen.

Bibliografía:

¿Que es la matemática?, de Courant y Robbins.
Vamos usar las primeras partes del libro, hasta "construcciones geometricas". Esta parte se puede comprar fotocopiada en la caja del CIMAT (30 pesos). Tambien se puede comprar ahora el libro en méxico (muy recomendado). El libro se vende por Fondo de Cultura Económica. Aquí están los detalles.
Algebra Lineal, de Hoffman y Kunze.
Hay algunas copias en la biblioteca en reserva.
A (terse) introduction to linear algebra (Archivo PDF de 450K), por Y. Katzeneslon.
El nivel de estas notas es alto (y en ingles...) pero es breve (=terse) y creo que vale mucho la pena leerlas durante el curso. Son notas en linea de un curso de algebra lineal que se está dando este semestre en la universidad de Stanford (California, EU). Katzeneslon es un muy buen matemático (era uno de mis maestros).

Examenes:

1-2 examenes parciales + final.

Primer examen parcial: martes, 9 de sept, 12:30-14:00. Material: tarea 1 - 4.
Segundo examen parcial: miercoles, 19 de nov, 12:30-14:00. Material: tarea 7-12. Ver lista de problemas para ayudar a preparar al examen.
Examen final: miercoles, 3 de dic, 11:00-13:00. Ver lista de problemas para ayudar a preparar al examen. ver solucion del examen final

Calificación:

Tarea: 15%. Parciales : 20%. Final: 65%. (Nota: si la calificación de los parciales es menor que la del examen final entonces se ignora los parciales y se aumenta a 85% el final).
Lista de calificaciones finales

Semana	Material	Tarea	Comentarios	Ligas para aprender más
Agsto 6-8	Primeros conceptos de conjuntos: intersección, unión, diferencia, el conjunto vacio; propiedades de estos conceptos.	Tarea 1 (para el 15 de agsto) corrección soluciones		History of set theory. (set theory = teoría de conjuntos).
Agsto 11-15	Funciones: dominio, codominio, valor, inyección, suprayección, biyeccion, composición de funciones, la función identidad de un conjunto, función inversa; equivalencia de conjuntos, conjunto finito/infinito/numerable, conjunto potencia de un conjunto.	Tarea 2 (para el 22 de agsto) Favor de leer con cuidado las deficiones al principio de la Tarea. Se puede usar en la tarea inducción matemática. (21/8) Los problemas 4 y 5 de esta tarea se puede entregar hasta el 29 de agosto. soluciones (problemas 1,2,3 solamente).	Esta semana habia clases solo el lunes y miercoles. La clase de miercoles la dió Luis Hernandez. La clase de Luis fue algo densa. La próxima semana habrá una revisión de esta clase. Un libro que te puede ayudar con este material (más que el libro de Courant y Robbins) es el de Halmos, "Naive set theory".	Cultura general: LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES En español, con buenos "applets". Sobre el "principio de Inclusion-Exclusion"
Agsto 18-22	Martes y miercoles: no introducimos cosas esencialemnte nuevas, digerimos material de la semana pasada. Demostramos que la composición de funciones inyectivas es inyectiva. Vimos que el converso es falso (mediante un contra ejemplo). Jueves: producto cartesiano de conjuntos. Relaci'on en un conjunto.	Tarea 3 (para el 29 de agsto) Se pospone la entrega de tarea 3 hasta el miercoles 3 de sept soluciones.		Mas Applets. Muy buen sitio de divulgación matemática; mira por ejemplo la sección de algebra
Agsto 25-29	Lunes: clase opcional (ayuda en cálculo, coeficientes binomiales, inducci'on). Martes: ejemplos de relaciones. Relación de equivalencia. Clases de equivalencia. Miercoles: particiones y relaciones de equivalencias. Ejemplos. Jueves: definición de anillo (conmutativo con unidad), campo. Ejemplos.	Tarea 4 (para el 5 de sept) soluciones.	El primer examen parcial es el Martes, 9 de sept. Material: tareas 1 - 4.
Sept 1-5	Lunes: clase opcional: presentación de algunos temas que podemos explorar en futuras sesiones. Martes: soluci'on de problemas de la tarea 4 (1a y 1e). Propiedades de campos (consecuencias de las axiomas). Miercoles: explicación sobre el problema 1 de la tarea 2 (como empezar a resolver tal problema). Mas propiedades de campos y anillos. Ejemplo de un campo con 2 elementos. Jueves: mas propiedades de campos y anillos. Un ejemplo de propiedad de campos que no es una consecuencia facil de los axiomas ("si la caracteristica de un campo no es 0 entonces es un ´umero primo").	Tarea 5 (para el 12 de sept) Soluciones
Sept 8-12	Lunes: clase opcional: repaso para el examen; discución sobre un problema de la teoria de Ramsey ("cada grafica infinita completa, cuyo conjunto de aristas esta pintado en dos colores, contiene una subgrafica infinita completa monocromatica.") Martes: Examen parcial num. 1. Miercoles: Los enteros mod n. Definición de las operaciones de suma y producto y demostración que cumplen los axiomas de anillo. Jueves: dos demostraciones de que Z/pZ es una campo (p es un primo).	Tarea 6 (para el 19 de sept) Soluciones	Pueedes usar para esta tarea esta Introducción elemntal a la teoria de números (PDF, 21 paginas, 235KB)
Sept 15-19	Miercoles+ Jueves: definición de espacio vectorial, subespacio vectorial, ejemplos. (NOTA: el martes no hubo clase -- 16 de sept).	Tarea 7 (para el 26 de sept): del libro de Hoffman y Kuntz (hay copias en reserva en la biblioteca): pag 33: 1,2,6. pag 39: 1,2,6 Nota: usar en estos ejercicios la definición de subespacio vectorial que dimos en la clase .	El examen parcial núm. 1 fue corregido pero no calificado porque la gran mayoría de los alumnos tuvieron muchas dificultades. Hay que leer con cuidado las correcciones y entregar este examen, bien-hecho, el día 3 oct (viernes), en la sesión de problemas. Esto sí lo vamos a calificar. Los dias 1,2 de octubre los ayudantes estarán en la clase para ayudarles en esto.
Sept 22-26	Lunes (material opcional): sobre teoria de juegos; el problema de repartición de pastel entre N copetoderes; el dilmea (paradoja) del prisionero. Martes: mas ejemplos (esp y subespacio vectorial). Definicion de =sub. esp generado por un subconjunto C de un esp vect. Algunas proposiciones acerca de estos conceptos. Miercoles+jueves: definicion de conjunto linealmente dependiente/independiente; ejemplos en R²	Tarea 8 (para el 3 de oct):
Sept 29 - oct 3	Esta semana no voy a estar. Lunes no hay clase. El martes si hay (por un substituto). Miercoles y jueves los ayudantes estaran en clase para asistir en la preparacion de la re-entrega del examen parcial (para el viernes 3 oct).	Tarea 9 (para el 10 de oct): Pag. 39: 8,9 (ver la definicion de la pagina 7) Pag. 48: 1,2,5,9.
Oct 6 - oct 10	Definicion de espacio vectorial de dim finita.	Tarea 10 (para el 24 de oct): Pag. 48: 4, 13, 14^. Pag 54: 1, 4, 6a, 7. ^El problema 14 de la pag. 48 es opcional.
Oct 13 - oct 17	No hay clases (Congreso nacional)
Oct 20 - oct 24	Martes: demostracion del teorema que afirma que en un espacio vectorial de dim finita todas las bases tiene el mismo numero de elementos (usando el lema de substitucion de Steinitz). Definicion del concepto de "sistema de ecuaciones lineales" (homogeneo e inhomogeneo). Miercoles y Jueves: las coordenadas de un vector con respecto a una base. La formula para cambio de coordenadas (al cambiar de una base a la otra). Multiplicacion de matrices, la inversa de una matriz, la matriz identidad. La matriz de transicion de una base B a B' es la inversa de la matriz de la trasicion de B' a B.	Tarea 11 (para el 31 de oct) Pag 11: 8. Pag 15: 4,5,8. Pag 20: 1, 5,6 Pag 26: 5,9.
Oct 27 - oct 31	Definicion de transformacion lineal, ejemplos y propiedades basicas, demostracion del teorema: dim Ker + dim Im = dim dominio.	Tarea 12 (para el 7 de nov) Pag 73: 1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12^*	Problema 12 es opcional. Problema 11 es importante conceptualmente. Por favor preguntarme si requiere ayuda. rango := la dimension de la imagen, nulidad:=la dimension del Kernel (=espacio nulo). Ver las definiciones en la pag 71.
Nov 3 - 7	Martes: isomorfismos entre espacio vectoriales. >Miercoles: la matriz de una transformacion lineal (con respecto a unas bases) Jueves: el espacio dual, la base dual a una base.	Tarea 13 (para el 14 de nov) pag 94: 2,5,9,10 pag 104: 1,2,6.	El examen parcial num 2 es el miercoles 19 Nov. Meterial: tarea 7-12. Ver lista de problemas para ayudar a preparar al examen.
Nov 10 -14	Martes: La transpuesta de una transformacion lineal y su matriz. El anulador de un subespacio. Miercoels y Jueves: Ker T^t= (Im T)⁰, Im T^t= (Ker T)⁰.
Nov 17 -21	Martes: solucion de algunos problemas de la hoja de problemas para el examen. Miercoeles: examen parcial num 2. Jueves: 20 de nov (no hay clases).
Nov 24 -28	Martes: el doble dual y el isomorfismo canonico. Miercoles y Jueves: preparacion al examen final.			El examen final es el miercoles 3 dic, a las 11am. Ver lista de problemas para ayudar a preparar al examen.