Teoria de representaciones - Tarea num. 1                              
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Fecha: 6 de feb. Para entregar: 13 de feb. 


1. Sea G un grupo actuando en un conjunto X. Sea V=Func(X) el espacio
vectorial de todas las funciones complejas f: X --> C. Definimos una
aplicacion T: G --> Aut(V) por

     [T(g)f](x)=f(g^{-1} x). 

Demostrar que T define una representacion lineal compleja de G en V. 

2. Sea G={1, -1} y X=R (los reales). Define una accion 
de G en X por la formula -1: x |--> -x.

a) Demuestra  que esto define una accion de G en X. 

b) Demuestra que el espacio de la representacion lineal asociada V=Func(R)
(ver problema anterior), se puede escribir como suma directa V=V'+ V'', donde

  * V' y V'' son los subespacios de funciones pares y impares (resp.).

  * V' y V'' son cada uno invariante bajo la accion de G. 

  * G actua en V'trivialmente. 

  * -1 actua en V'' por multiplicacion por -1.