Teoría de Representaciones--
Curso de Posgrado
Semestre:febrero - junio del 2001
Profesor: Gil Bor, oficina F-7, ext 100,
gil@cimat.mx.
Horario: Martes y Jueves, de 12:30 a 1:50, Salón 5 de
la facultad.
Horario de Consulta: Jueves de 11:00 a 12:30, en oficina
F-7.
Descripción del Curso
El nombre completo del curso es "introducción a la
teoría de representaciones lineales de grupos". El tema es de
los mas bellos de las matemáticas, desde punto de vista
abstracto y de las aplicaciones (física y química). Los
métodos de la teoría son muy poderosos y consisten en explorar y
aprovechar la simetría de un problema.
Por ejemplo: determinar el espectro (niveles de energía) del
átomo de hidrógeno. Otro ejemplo: ¿será
cierto que un cuerpo en R3 tal que todos sus
"sombras" (proyecciones a R2 por rayos de luz
paralelos) tienen la misma área, es una esfera? otro: un
día Pepe distrubuye los números de 1 hasta 6 en las 6 caras de un
cubo y entrega el cubo a Chucho. El día siguiente Chucho toma el cubo
y substituye cada número por el promedio de los números que aparecen
en las 4 caras vecinas y regresa el cubo a Pepe. El tercer día Pepe
hace lo mismo (substituye el nuemro en cada cara con el promedio de
los 4 adyacentes) y entrega el cubo a Chucho. Y así siguen
alternando. Pregunta: ¿despues de un mes, qué números se encuentran
escritos sobre las caras del cubo?
(Los ultimos 2 ejemplos son del libro de Kirillov).
Otro punto atractivo del tema es que los pre-requisitos son muy pocos para
poder disfrutar y aprobechar de los primeros resultados no triviales de la
teoria. Para la 1era parte del curso se necesita poco de teoría de grupos
(no mucho mas que la definición de grupo) y álgebra lineal (nivel
licenciatura). Para la 2nda parte, los pre-requisitos principales son algo
de geometría/topología (conocer la definición+ejemplos de variedad
diferencial ayuda pero no es obligatorio).
Temario tentativo
- Primera parte: representaciones y caracteres (esto es básicamente la primera parte del
libro de Serre) :
- definiciones y ejemplos de: representacion, subrepresentacion,
representacion irreducible, operaciones sobre representaciones (suma,
producto tensorial, cociente).
- el lema de schur y sus aplicaciones: el caracter de una representacion,
las relaciones de ortogonalidad, la descomposicion de la representacion
regular de un grupo finito.
- Segunda parte: una seleccion de temas optativos (segun el gusto de los participantes y
lo que permite el tiempo):
- grupos de lie compactos: las representaciones de algunos grupos
"claves" (SO(3), SU(2), U(n),...). el teorema de peter-weyl.
- la descomposicion de las representaciones "tensoriales" de los grupos
clasicos.
- las representaciones del grupo simetrico.
- algunas representaciones importantes de dimension infinita (eg de
SL(2,C)).
- aplicaciones de la teoria de representaciones a matematica fisica (eg
funciones especiales y ecuaciones diferenciales).
Tarea:
semanal e indispensable.
Bibliografia (en reserva en la biblioteca del Cimat):
- J. -P. Serre, linear representations of finite groups
- Naimark y Stern, Theory of Group representations
- Kirillov, elements of the theory of representations