Lista de temas para presentaciones del final del
Curso de Teoría de Números

(empezando el 3 de diciembre, 2001)

  1. La "Teoría de Números de Z[(-2)½] (sus primos, el teorema fundamental de la aritmética) y su aplicación para la solución de dos problemas:

    (A) Determinación de los enteros representables en la forma a² + 2b².

    (B) Resolviendo la ecuación y ³ = x ² + 2.

    Referencia: Stillwell, 7.6.

    Responsables: Angel + Vero.

  2. Residuos Cuadráticos:

    (A) El "criterio de Euler": un entero a, no divisible por un primo p, es un cuadrado mod p, ssi a(p - 1)/2 es congruente con 1 mod p. [Stillwell, 6.7.]

    (B) 2 es un cuadrado mod p (un primo) ssi p es de la forma 8n ± 1. [Stillwell, 6.8.]

    (C) Reciprocidad Cuadrática: (p/q)(q/p) = (-1)(p - 1)(q - 1)/4, donde p, q son dos primos distintos y (a/p) se define para cualquier entero no divisible entre p como 1 si a es un cuadrado mod p, -1 si no. [Stillwell, 6.9.]

    Responsables: 4 alumnos (nombres?)

  3. Aproximación de números reales por racionales:

    (A) Sea x un numero real. Entonces cada uno de los convergentes p/q en la fracción continua de x satisface | x - p/q | < 1/(51/2 q2).

    (B) Este resultado es "inmejorable" en el sentido siguiente: no existe una constante A >5 ½ tal que para todo número real x exsitan una infinidad de racionales p/q tal que | x - p/q | < 1/(Aq2).

    (C) Si x es un número real algebráico de grado d, entonces existe una constante A > 0 y una infinidad de racionales p/q tal que | x - p/q | < A/q d .

    (D) Construccion de número no algebraicos usando el último resultado.

    Ref: Hardy & Wright.

    Responsables: juan, alfredo, carlos, vidal

  4. El "último" teorema de Fermat:

    (A) La ecuación x ³ + y ³ = z ³.

    (B) La ecuación x 2n + y 2n = z 2n.

    Responsables: Areli, Pablo.

  5. Existencia de infinidad de primos en progresiones aritméticas (teorema de Dirichlet):

    (A) Existe una infinidad de primos de la forma 4n+1. (B) Existe una infinidad de primos de la forma 4n+3. (C) Si (a,b)=1, entocnes existe una infinidad de primos en la progresion aritmetica an + b.

    Responsable: jorge.