Teoría de Números - Tarea núm. 8

(para entregar el jueves 15 de nov, 2001)

Definiciones vistas en la clase:

Se define a los "enteros de Gauss" como el conjunto Z[i] := { a + i b | a, b enteros } (un subconjunto de los números complejos).
La "norma" de un entero de Gauss z = a + i b se define por N(z) := a² + b².
Las "unidades" de Z[i] son los elementos invertibles, o sea {1, -1, i, -i}.
Dos eneteros de Gauss z, z' son "asociados" si existe una unidad u tal que z = z' u.
Un entero de Gauss z distinto de 0 o unidad es primo si cualquier factorización z = z₁ z₂ , con z₁ , z₂ enteros de Gauss, implica que uno de los factores es una unidad. (Otra definición: sus unicos divisores son él y sus asociados y las unidades).
Dados dos enetros de Gauss z, z', un tercer entero de Gauss z'' (distinto de 0) se llama un "máximo comun divisor" si z'' divide a z, z', y si cualquer otro divisor comun de z, z' divide a z''.

Resultados vistos en clase

(Algoritmo de la division de Euclides): Si z, z' son dos enteros de Gauss, z' distinto de 0, entonces existen enteros de Gauss m, z₁ tal que z = mz' + z₁, y tal que N(z₁) < N(z').

Para cualquer dos enteros de Gauss existe un máximo común divisor, y cualquier dos son asociados.

Un entero de Gauss cuya norma es primo es un primo de Gauss.

Los primos de Gauss son:

primos ordinarios congruentes con 3 mod 4;
los enteros de Gauss w = a + i b , donde N(w) = a² + b² es un primo congruente con 1 mod 4, o el primo 2. En particular: Un primo ordinario es un primo de Gauss ssi es congruente con 3 mod 4.

NOTA: en la clase vimos que todos los enteros de Gauss indicados son primos de Gauss. En el problema 4 abajo vemos que estos son todos los primos de Gauss.

Un primo ordinario > 2 es la suma de dos cuadrados ssi es congruente con 1 mod 4.

Un entero n es la suma de dos cuadrados ssi para todo primo q congruente con 3 mod 4, la maxima potencia q^c que divide a n es con c par.

Problemas

Nota: para la version final de la lista de problemas por favor ver esta pagina el lunes 12 de noviembre.

Encuentra a todos los primos de Gauss con norma menor que 10.
Demuestra lo siguiente: si w es un primo de Gauss que divide a un producto de dos enteros de Gauss, entonces w tiene que dividir por lo menos a uno de los factores.
Demuestra el teorema fundamental de la aritemetica para los enteros de Gauss: la descomposición de un entero de Gauss en producto de primos es unica la unica amibiguedad siendo el orden de los factores y la substitucion de un factor por su asociado.
Sugerencia: usar el problema anterior.
Consideramos al conjunto de numeros complejos Z[(-5)^½] := { a + i(5)^½ b | a, b enteros }. Demuestra que el teorema fundamental de aritemtica no es cierto en Z[(-5)^½)]. Para esto demuestra que 6 tiene dos factorizaciones esencialemente distintas, 6 = 2 · 3 = (1 + i(5)^½)(1 - i(5)^½), en donde los 4 factores 2, 3, 1 + i(5)^½, 1 - i(5)^½ son primos no asociados en Z[(-5)^½)].
Sea w un primo de Gauss. Demuestra que si w es un entero (i.e. real) entonces w es un primo ordinario congruente con 3 mod 4, y de otro modo N(w) es un primo congruente con 1 mod 4, o el primo 2.