Teoría de Números - Tarea núm. 7

Definiciones vistas en la clase:

• Dado un número real x, se define su desarrollo en fracción contínua, por
  x = a₀ + 1 / y₀, donde a₀ = [x] (la parte entera de x) y y₀ es un número real > 1;
  y ₀ = a₁ + 1 / y₁, donde a₁ = [ 1 / y], y y₁ > 1;
  y _n-1 = a_n + 1 / y_n, donde a_n = [ 1 / y_n-1], y y_n > 1.

  El proceso se acaba (y el desarrollo es finito) si en algun momento obtenemos que y_n (o x) es un entero.

• Se definen los convergentes x_n = [ a₀, a₁, a₂, ... ,a_n], inductivamente, por [ a₀, a₁, a₂, ... ,a_n] := a₀ + 1 / [a₁, a₂, ... ,a_n], [a_n] := a_n.

Algunos ejemplos:

• (2)^1/2 = [1, 2, 1, 2, 1, ... ].
• pi = [3,7,15, ...]
• "la razón dorada" :=( 1 + (5)^1/2)/2 = [1, 1, 1, 1, 1, ... ].
• e = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, ...]..

Problemas

1. Demuestra que un número real es racional ssi su desarrollo en fracción contínua es finito.

2. [2, 2, 2, 2, 2, ... ] = ?

3. Sea n un entero positivo no cuadrado. Demuestra que el desarrollo en fracción contínua de la raiz cuadrada de n, empezando en algun lugar, es periódico.

   Sugerencia: demuestra que en el algoritmo de la fracción continua para la raiz cuadrada de n, cada uno de los y_k son de la forma B/(n^1/2 - A ), con A, B dos enteros tal que B divide al n - A²; de esto deduces que |A|, |B| estan acotados por n, así que tienen un número finito de valores posibles, así que tarde o temprano, los y_k van a tener que empezar a repetir.

   Nota: usando la idea de esta demostración, se puede demostrar que cualquier "surdo cuadrático", i.e. un irracional de la forma A + B ( C^1/2), con A, B, C racionales (una raiz de una ecuacion cuadratica con coeficientes enteros) su desarrollo en fraccion continua, empezando en algun lugar, es periódico.

4. Sea x = (1 + 5^1/2)/2.
   1. Demuestra que cada uno de los convergentes p/q en la fracción continua de x satisface | x - p/q | < 1/(5^1/2 q²).
   2. (Opcional) Demuestra que la constante 5^1/2 en el inciso anterior es "inmejorable"; i.e., para cada A > 5^1/2, existe a lo mas un número finito de convergentes p/q que satifacen | x - p/q | < 1/(A q²).