Teoría de Números - Tarea núm. 6

Definiciones vistas en la clase:

• Se dice que un racional a/b está en forma reducida si el numerador y denominador no tienen factor común mayor que 1 (o sea, (a, b) = 1).

• Sea n un entero positivo. Se define la sucesión de Farey de orden n como la sucesión de los números racionales a/b (en orden creciente) en el rango [0, 1], con b no mas grande que n.

Algunas afirmaciones vistas en la clase:

• Si a/b < a'/b' son dos términos sucesivos (en forma reducida) en la sucesión de Farey de orden n, entonces a'b - ab' = 1.

• Teorema: Sean v = (b, a) y v' = (b', a') dos vectores tal que a, b, a', b' son enteros positivos y tal que a/b < a'/b' . Entonces los siguienes tres incisos son equivalentes:
  1. a'b - ab' = 1.
  2. El triángulo con vertices v, v' y (0, 0) no contiene ningun otro punto con cooredenadas enteras (mas que sus tres vertices).
  3. { mv + m'v' | m, m' son eneteros} = Z² (el conjunto de vectores con coordenadas enteras).

Problemas

1. (a) Demuestra que 22/7 es la mejor aproximación para pi entre todos los racionales con denominador < 8.

   (b) Encuentra la siguiente tal aproximación para pi; o sea, un racional a/b que es la mejor aproximación para pi entre todos los racionales con denominador < b, tal que b es el primero > 7.

2. 2. Sean a/b < a'/b' < a''/b'' tres términos sucesivos (en forma reducida) en la sucesión de Farey de orden n.
   Demuestra que a'/b' = (a + a'') / (b + b'').

   Sugerencia: usar las relaciones a'b - ab' = 1, a''b' - a'b'' = 1 , para expresar a a', b' en términos de a, b, a'', b''.

3. Sean v = (b, a) y v' = (b', a') dos vectores en el plano. Demuestra que el área del triángulo en el plano con vertices v, v' y (0, 0) está dado por el valor absoluto de (ab' - a'b)/2.

4. En el Teorema arriba, demuestra que el inciso 3 implica el inciso 2.

   Sugerencia: Dados caulesquera dos vectores (linealmente independientes) en el plano, demuestra que todos los vectores en el plano que se obtienen al tomar combinaciones lineales con coeficientes enteras de estos dos vectores se ubican afuera, o sobre la circunferencia, del triángulo formado por el origen y los dos vectores.

5. (Los Círculos de Ford). Dibujamos arriba de cada punto racional (a/b, 0) del eje de x en el plano su "Círculo de Ford": un círculo de radio 1/2b² centrado en (a/b, 1/2b²).

   (a) Demuestra que los interiores de los círculos nunca inersectan (o sea, solo las circunferencias de los círculos pueden tocar).

   (b) Demuestra que dos círculo de Ford son tangentes ssi los racionales correspondientes son dos términos sucesivos en una sucesión de Farey.

   (c) Usando los círculos de Ford, encuentra una construcción geométrica para la sucesiones de Farey.