Teoría de Números - Tarea núm. 4

Definiciones vistos en la clase:

• Para un número real x, su parte entera se define como [x] = max { m | m es menor o igual a x }. Se define a la parte fraccional de x como x (mod 1) := x - [x].

• Un subconjunto A del intervalo [0,1) es un subgrupo aditivo si cumplen los siguientes dos condiciones
  1. si a, b estan en A, también a + b (mod 1) está en A;
  2. si a está en A, también -a (mod 1) está en A.

• Un subconjunto A del intervalo [0,1) es denso si para todo x < y en [0,1) existe un a en A tal que x < a < y.

• Se dice que una sucesión de números reales x₀, x₁, x₂, . . . en el intervalo [0,1) está equi-distribuida (o "uniformamente densa") si para todo sub-intervalo [a, b] de [0,1) la sucesión F_N = # { j | x_j está en [a, b] y j está en {0, 1, 2, ..., N}/(N + 1) converge a | b - a |, cuando N tiende al infinito.

Algunas afirmaciones vistas en la clase:

• El criterio de Weyl (para la equidistribución de una sucesión): sea x₀, x₁, x₂, ... una sucesión en el intervalo [0,1). Para cada k = 1, 2, 3, ... y N = 0, 1, 2, 3, ... definimos las funciones e_k( x ) := e^2(pi)ikx y los números P_N ( e_k ) := ( e_k( x₀ ) + . . . + e_k( x_N ) ) / (N+1). Entonces la sucesión está equidistribuida si y solo si para todo k = 1, 2, 3, ... los P_N ( e_k ) convergen a 0 cuando N tiende al infinito.

Problemas

1. Demuestra que log₁₀2 es irracional.

2. Sea b un número irracional. Demuestra que el conjunto A := { nb (mod 1) | n entero } es infinito.
   Sugerencia: demuestra que todos los números nb (mod 1) son distintos.

3. Sea b un número irracional. Demuestra que A := { nb (mod 1) | n entero , n > 0 } es denso en [0,1).

4. Sea A_i={ 17k + i | k = 0, 1, 2, ...}, i = 0, 1, 2, ..., 16. Sea F_N (A_i) := ( el número de elementos de A_i en el conjunto {0, 1, 2, ..., N}) / (N+1). Demuestra que F_N (A_i) converge a 1/17 cuando N tiende al infinito.

5. Sea b un número irracional. Verificar el criterio de Weyl para la sucesión x_j = jb (mod 1).