Teoría de Números - Tarea núm. 3

Definiciones vistos en la clase:

* Se dice que un entero a (distinto de 0) divide a otro entero b (o que b es divisible entre a, o que b es un múltiplo de a) si existe un entero m tal que b=am. Notación: a|b.

* Para dos enteros a, b, su máximo común divisor es el entero maximal d que divide a ambos; notación d=mcd(a,b), o simplemente d=(a,b).

* Dos enteros a, b son primos relativos si mcd(a,b)=1.

* Un entero p es primo si

• p > 1,
• Para todo entero positivo a, a | p implica a=1 ó a=p.

* Un subconjunto A de R (los números reales) se llama un subgrupo multiplicativo (de R) si se cumplen los siguientes requisitos:

1. 0 no está en A;
2. para cada dos números a, b en A su producto ab tambien está en A;
3. para cada número a en A su recíproco 1/a tambien está en A.

* Un subgrupo multiplicativo A de R es cíclico si posee un generador; o sea, existe un a en A tal que A consiste en todas las potencias aⁿ de a (potencias positivas, negativas y cero).

Algunas afirmaciones vistas en la clase:

* El Teorema fundamental de la Aritmética: Todo entero mayor que 1 se puede escribir como un producto de primos, de manera única (salvo el orden de los factores).

* El Teorema de Euclides: si un primo divide al producto de dos enteros, entonces tiene que dividir a uno de ellos (por lo menos).

* "El principio de descenso infinito": una sucesión decendiente de enteros positivos es finita.

* Proposición: la raiz de 2 es irracional.

Problemas

1. Demostrar las siguientes propiedades de divisibilidad:
   1. a|b, b|c implica a|c.

   2. a|b, a|c implica a|b+c.

   3. a|b implica a|bc para todo c.

2. Demostrar: a|bc, (a, b)=1 implica a|c.

3. Demostrar: para cualquier dos enteros a, b, existen dos enteros x, y, tal que ax + by=(a, b). (Opcional: ¿son únicos los x, y?)
   1. Demostrar: para todo entero positivo, su raiz cuadrada es entera o irracional (o sea, no puede ser racional no entera).

   2. (Opcional) Generalizar lo anterior para la n-sima raiz.

4. Hacer el problema 5.5 de la tarea anterior (si no lo has hecho).

5. Encontrar los subgrupos multiplicativos finitos de R.
   (Sugerencia: hay exactamente dos tales subgrupos.)

6. Demostrar que el conjunto de los números racionales distintos de cero es un subgrupo multimplicativo de R.

7. Sea d un entero positivo no cuadrado (o sea, d es distinto de 1,4,9,16,... etc). Denotamos por Q[d^1/2] el conjunto de números reales de la forma a+b(d^1/2), donde a, b son números racionales. (Nota: d^1/2 denota la raiz cuadrada de d.)
   1. Demuestra que el conjunto de los números distintos cero en Q[d^1/2] es un subgrupo multiplicativo de R.
      

   2. Demuestra que el conjugado del producto de dos números en Q[d^1/2] es el producto de sus conjugados.
      (Nota: el conjugado de a + b(d^1/2) es a - b(d^1/2).)

   3. Sea A el subconjunto de Q[d^1/2] que consiste en los números a+b(d^1/2) tal que a, b son enteros, a > 0, y satifacen la ecuación x² - dy² = 1 ( la Ecuación de Pell). Demuestra que A es un subgrupo multimplicativo de R.

   4. Demuestra que el subgrupo multimplicativo A del inciso anterior es cíclico.
      (Sugerencia: considera el elemento a + b(d^1/2) de A con a el positivo mínimo.)

   5. Encuentra un generador de las soluciones de la ecuación de Pell con d=3.

   6. (Opcional) Encuentra un generador de las soluciones de la ecuación de Pell con d=5.