Teoría de Números - Tarea núm. 2

1. Demostrar que el triple pitagórico (a,b,c)=(u²- v², 2uv, u²+v²) es primitivo (i.e. sin divisor común > 1) si los enteros u, v son primos relativos (sin divisor común > 1) y de distinta paredad (uno es par el otro impar).

2. Encontrar todos los cuádruples pitagóricos primitivos en el rango (0,..., 100 ); o sea, los cuádruples de enteros positivos (a,b,c,d), sin factor común > 1, que satifacen a² + b²+ c²= d², con 0 < a, b, c, d < 100.

3. Demostrar la fórmula e^i(a+b)=e^iae^ib, usando las fórmulas para el coseno y seno de suma de ángulos y la definición e^it=cos(t)+ isen(t).

4. Derivar las fórmulas para el coseno y seno hiperbólico de suma de ángulos usando las definiciónes cosh(t)=(e^t+e^-t)/2, senh(t)=(e^t-e^-t)/2, y la propiedad e^a+b=e^ae^b.

5. Consideramos la hipérbola H en el plano dada por la ecuación x² - dy²= 1, donde d es un entero positivo (d era 2 en el ejemplo visto en la clase).
   1. Demuestra que para todo t, el punto P_t en el plano con cooredenadas P_t=(cosh(t), senh(t)/d^1/2), se encuentra sobre la hipérbola H.
   2. Demuestra que todo punto P = (x, y) sobre H con x > 0 es de la forma P_t para algun t; o sea, que la fórmula del inciso anterior nos da una parametrización de toda la rama derecha de H.
   3. Expresa las coordenadas de P_t+s en términos de las coordenadas de P_t y P_s.
   4. Usando el inciso anterior, demuestra que si las cooredenadas de P_t y P_s son enteras, tambien las cooredenadas de P_t+s son enteras.
   5. (Opcional) Encontrar todos los pares de enteros positivos (a,b) tal que a² - 2b²= 1, y 0 < a , b < 30 .