Teoría de Números - Tarea núm. 1

(para entregar el miercoles 29 de agosto, 2001)

Resumen de los resultados vistos en la clase:

Proposición: Sea C el círculo en en plano con radio 1 y centro en el origen (0,0). Sea l una línea en el plano que pasa por el punto P0=(0,1) de C, un punto P=(t,0) del eje de x y otro punto P' de C. Entonces el punto P' tiene coordenadas racionales si y solo si t es racional.

Lema 1. Tomamos una ecuación cuadrática con cooeficientes racionales; o sea, ax2+ bx +c =0, con a,b,c números racionales, a distinto de 0. Suponemos que la ecuación tiene dos raices, x1 y x2, uno de los cuales, digamos x1, es racional. Entonces el otro, x2, también es racional.

Lema 2. Sea l una línea en el plano que pasa por dos puntos con coordenadas racionales. Entonces se puede describir la línea con una ecuación lineal con coeficientes racionales; o sea, una ecuación de la forma ax + by + c=0, con a,b,c números racionales.

Lema 3. Suponemos que C es una curva en el plano dada por una ecuación cuadrática con coeficientes racionales y que l es una línea dada por una ecuación con coeficientes racionales; o sea, C está dada por una ecuación de la forma Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F =0, con A,B,...,F números racionales, y l está dada por una ecuación de la forma ax + by + c=0, con a,b,c números racionales. Además, suponemos que C y l intersectan en dos puntos, uno de los cuales tiene coordenadas racionales. Entonces el otro punto también tiene coordenadas racionales.

Problemas
  1. Completar la demostración de Lema 1 (faltaba el caso de x1=0).

  2. Completar la demostración de Lema 3 (faltaba el caso de b=0).
    Sugerencia: derivar una ecuación cuadrática para y); luego aplicar Lema 1.

  3. Completar la demostración de la proposición (faltaba la demostración de la parte "solo si"; o sea, demostrar que si P' tiene coordenadas racionales entonces t es racional.)

  4. Escribir las coordenadas de P' en la proposición en terminos de t.

  5. Encontrar todos los triples pitagóricos primitivos (o sea los triples (a,b,c) de enteros positivos sin factor común que satifacen a2 + b2= c2, con a,b,c menores que 100.