Semestre: agosto-dic 2001
Profesor: Gil Bor, oficina F-7, ext 49500, gil@cimat.mx, http://www.cimat.mx/~gil
Horario: Lunes y Jueves 1:00 - 2:30. Salon 5 de la facultad.
Dirigido a: estudientes desde el 1er semetre de la licenciatura en adelante.
Pre-requisitos: ningunos formales, solo curiosidad y estar abierto a todas ramas de las matemáticas.
Tarea:
Descripción del curso:
Nota: es un curso nuevo (en nuestra facultad de matemáticas) y se llama "teoría de números" por falta de un nombre mejor... la descripción que viene es algo larga porque el temario no es estandar. Un "highlight" (tampoco estandar) del curso es la inclusión en el curso de una semana de pláticas (como 4) de Vitaly Bergelson, un amigo matemático mio, que algunos de Ustds capaz conocieron en su visita al CIMAT del año pasado.
La teoría de números, estrictamente hablando, es la teoría de los números mas sensillos - los "naturales": 1,2,3,.... Pero resulta que su teoría no es nada sensilla y consiste en uno de los áreas mas profundos y bellos en toda las matemáticas.
Pero antes de seguir debo confesar que no soy un experto en el tema que aparece en el titulo del curso (soy geómetra). Sin embargo, encuentro el tema facinante y me gustaría intentar a transmitir esta facinación a ustds... En gran parte, mi facinación viene de la cantidad inesperable de relaciones entre el tema, elemental ("primitivo"?) a la primera vista, con otros áreas de la matemática, o ciencia y tecnología en general.
En este curso enfatisamos estas relaciones. El temario (ver abajo) refleja este énfasis. No es un temario de un curso introductorio "estandar" de teoria de numeros (artimética modular, esencialmente).
Aquí está uno de mis ejemplos favoritos. (Lo aprendí de un libro de mecánica del gran matemático ruso V. Arnold). Es un poco largo (disculpas) pero creo que capta muy bien el espírito del curso que tengo en mente.
Consideramos la sucesión 2,4,8,1,3,6,1,2,5,1,....
Ya agraron la "regla"?
Son los primeros dígitos de las potencias de 2.
Pregunta: si seguimos con esta sucesión indefinitivamente, ¿aparece 7 eventualmente?
Pues resulta que sí. El 46vo término de la sucesión es 7 (o sea 2 a la 46 empieza con 7).
Otra pregunta: ¿aparece el 7 otra vez? en caso que si, ¿cuantas veces mas? y ¿quién aparece "mas" en la sucesión, 7 o 8 ?
Para esto hacemos lo siguiente: considerarmos los primeros digamos 50 términos de la sucesión y contamos cuantos de ellos son 7 y cuantos son 8. Respuesta: 1 y 5 respectivamente.
Luego hacemos lo mismo con los primeros cien términos. Respuesta: 6 y 5 respectivamente.
Luego lo mismo con los primeros mil términos (56 y 52), luego 10 mil (579 y 512), 100 mil (5797 y 5116), etc.
Estas cuentas sugieren las conjeturas siguientes: que tanto 7 como 8 aparecen una infinidad de veces en la sucesión; que aproximadamente 5.7% de los términos son 7 y que aprox 5.1% son 8, asi que 7 aparece "mas" que 8.
Como explicamos todo esto?
Ejercicio: sea k uno de los números 1,2,3,...,9. Demuestra que k aparece en el N-simo lugar de la sucesión si y solo si la parte fracciónal de N log(2) (logaritmo en base 10) está en el intervalo [log(k), log(k+1)).
(Nota: la parte fraccional de un número positivo es "lo que viene despues del punto decimal"; por ejemplo, la parte fraccional de 3.5 es 0.5, de 7 es 0, de 22/7 es 1/7, de la raiz de 2 es 0.41... = la raiz de 2 menos 1).
(Otra nota: la condición que aparece en el ejercicio tiene una reformulación geométrica bonita que vamos a ver en la clase en términos de un sistema dinámico sobre el círculo).
Ahora entra al escenario un teorema clásico de varios matemáticos (Dirichlet, Weyl, ....): si uno toma un número irracional (como lo es log(2)), entonces la parte fracciónal de sus múltiplos es DENSA en el intervalo [0,1], y ademas es UNIFORMAMENTE densa.
(En la clase definimos con precisión los conceptos "denso" y "uniformamente denso".)
Este teorema tiene tambien una generalización moderna importante dentro de la llamada Teoría Ergódica (una rama importante de la teoría de sistemas dinámicos).
La primera parte del teorema ("denso") es relativamente facil de demostrar (ejercicio!) pero ya demuestra que cada uno de los 9 digitos 1,2,...,9 aparece una infinidad de veces en la sucesión! (tambien demuestra que hay una infinidad de potencias de 2 que empiezan con 1957.)
(Y por cierto, demostrar que log(2) es irraciónal es facil, aún mas facil que demostrar que la raiz de 2 es irraciónal.)
La segunda parte del teorema ("uniformamente denso") es bastante mas profunda y te permite calcular inmediatamente las frecuencias de ocurrencia de 7 y 8 en la sucesión (log 8/7 y log 9/8 respectivamente).
La mejor demostración que conozco de esta 2nda parte del teorema viene de la teoría de Serie de Fourie (descripción de funciónes usando senos y cosenos).
Mi amigo el matemático Vitaly Bergelson de Columbus Ohio es un gran
experto en la Teoría Ergódica y me contó que el mismo fenómeno ocurre con
la sucesión 2,3,5,7,1,1,1,1,2,2,3,... (los primeros dígitos de la sucesión
de los primos). No se todavía como lo demuestra pero se me hace de lo mas
sorprendente y maravilloso.
Temario tentativo:
Bibliografía:
Todavía la estoy buscando, pero creo que un buen inicio, para darse mas idea del espirito del curso son los siguientes:Material en linea
Calificación:
Compilamos juntos una lista de proyectos adaptados al gusto de los participantes; cada alumno va a dar una breve presentación en el tema de su elección.