MATERIA:Cálculo I y II
CLAVE:MAT-111 y MAT-112 respectivamente.
SEMESTRE DE UBICACION: Primero y segundo.
AREA: Análisis
PRE-REQUISITOS: Ninguno.
PREPARADO POR: Luis Hernandez, Adolfo Sanchez, Aug. 2000.
RECOMENDACIONES AL MAESTRO DEL CURSO:
- El material marcado con
* es opcional. El resto del material es obligatorio.
- Se espera un alto nivel de rigor desde el principio. Ejemplo:
el libro [Sp]. Contraejemplo: el libro [Si] (aunque contiene
cierto material complementario bonito).
- A continuación se detalla el temario de los cursos de
cálculo 1 y 2 pensados como una unidad de un año de
duración.
- Existe cierta flexibilidad en el orden en que se
presenta el material; por ejemplo, sucesiones (e incluso
series) se puede ver antes de continuidad.
- Existe, también, flexibilidad en la división entre
Cálculo 1 y 2, sin embargo vale la pena mencionar que algunos temas
son prerrequisitos de otros cursos del segundo semestre (e.g. series
se usa en Elementos de Probabilidad y Estadística).
TEMARIO DE CALCULO 1:
- PRECALCULO
- Un poco de lógica matemática: implicación, negación,
cuantificadores; ejemplificar su uso al repasar los siguientes
conceptos de geometría elemental: semejanza de triángulos,
teorema del ángulo central, trigonometría.
- Conjuntos: intersección, unión, complemento.
- Funciones: definición, inyectiva, sobre y biyectiva,
composición; cardinalidad y conjunto numerable. Probar que
|Q|=|N| y que |R|>|N|.
- *Prueba de Cantor de la existencia de números trascendentes.
- Inducción matemática.
- NÚMEROS REALES
- Los reales: N, Z, Q, axiomas de los
reales, axioma del
supremo. Valor absoluto, intervalos.
- El plano: R2. La ecuación de una
recta, distancia.
- Funciones reales: definición y
ejemplos. Sumas, productos y
composición de fuciones. Polinomios, funciones racionales,
algebraicas, otras. sin y
cos. Gráficas. Cónicas y sus
gráficas.
- LIMITES Y CONTINUIDAD
-
Interpretación geométrica del significado de
derivada. Ejemplos.
- Límites:
Definición. Ejemplos. Unicidad. Aritmética de
límites. Más ejemplos. Límites de funciones racionales
en + y - infinito. El limx->0sin x/x.
- Continuidad: Definición. Ejemplos. Aritmética de funciones
continuas. Composición. ``Toda función continua sobre un
intervalo cerrado es acotada''. ``Toda función continua sobre un
intervalo cerrado alcanza su max y min''. Teorema del valor
intermedio. Teorema del punto fijo en [0,1]. Otras aplicaciones.
- DERIVADAS
- Diferenciación: Definición de derivada. Recta
tangente. Derivadas. Teoremas sobre suma, producto y cociente de
derivadas. Ejemplos.
- Regla de la cadena.
- Máximos y mínimos: Puntos críticos. Max y min
local. Concavidad y puntos de inflexión.
- Teorema del Valor Medio, Regla de L'Hopital.
- *Teorema de
Liouville (ejemplos de números no algebraicos).
- Aplicaciones: Diferenciación implícita, problemas de
máximos y m\'inimos, aplicaciones de regla de la cadena (problemas
tipo: ``Una bola de naftalina se evapora a una razón proporcional
a su superficie. Muestra que su radio decrece a razón constante'',
etc).
- Gráficas de funciones identificando dominio, max y min,
puntos silla, puntos de inflexión, concavidad, intervalos donde
crece o decrece, comportamiento al infinito, comportamiento cerca
del complemento de su dominio, etc. Introducir la función
exponencial (e.g. como función derivable en 0 y que es homomorfismo de
(R , +) en (R+ , . ).
- Funciones inversas: Teoremas de existencia para funciones
continuas y diferenciables. Derivada de la inversa. Ejemplos, en
particular log, funciones trigonométricas inversas, etc.
- SUCESIONES Y SERIES
- Sucesiones: Convergencia, la definicion de continuidad en
terminos de sucesiones, aritmética de sucesiones, ``sucesión monótona y
acotada converge'', ejemplos.
- Series: Convergencia, series geométricas, criterios de
convergencia; suma de an
converge implica an->0; Comparación, razón y
raíz. La serie armónica, p-series,
ejemplos; series alternantes.
- *definición de e como serie (suma de 1/n!); *demo que
e es irracional.
- *Completez de R: Sucesiones de cauchy, axioma del supremo,
propiedad arquimediana, Bolzano-Weierstrass.
TEMARIO DE CALCULO 2:
- INTEGRAL DE RIEMANN
- *Motivacion
[Si, apendice A.2 - A.4]: cálculo de áreas por exhaución; teoremas de Arquímedes e
Hipócrates, teorema de
Fermat, calculando área bajo la curva
xr (r racional).
- Integral de Riemann: definición de función integrable e
integral, ejemplos, ``funcion continua ==> integrable",
aritmética de las funciones integrales, desigualdad de
Cauchy-Schwartz.
- TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO
- El teorema fundamental del cálculo: primer y segundo
teoremas fundamentales del cálculo, primeras aplicaciones al
cálculo de integrales, derivada de funciones tipo
f(x)=\int_{g(x)}^{h(x)}{u(t)dt}.
- Funciones trigonométricas: definición de
pi (= área del disco unidad), definción formal de
sin(x) y cos(x), otras funciones trigonométricas y sus
inversas, caracterización de sin(x) y cos(x) como
soluciones de y''+y=0.
- * demo que pi es irracional, fórmula de Vieta.
- Prueba de la integral para series.
- El logaritmo y la exponencial: definición formal de
log(x)
como integral de 1 hasta x de dt/t, propiedades de log(x), gráfica,
definición de exp como la inversa de log, definición de
e, a^x para a>0 y x real, leyes de los exponentes,
derivada de a^x, gráficas, caracterización de e^x via
y' =y, algunos límites importantes (e.g.
(1+1/x)^x cuando x va al infinito), e^{-1/x^2}, cosh y sinh.
- METODOS DE INTEGRACION Y APLICACIONES
- Aplicaciones: problemas de crecimiento de población, ley de
enfriamiento de Newton, radioactividad.
- Métodos de integración: por partes, cambio de variable,
trigonométricas (*aplicación: producto de Wallis), racionales
(fracciones parciales), sustitución trigonométrica, completando
cuadrado, muchos ejemplos, función Gama.
- *Funciones que no pueden integrarse por métodos
elementales: teoremas (sin demostración) de Liouville y
Chebyshev.
- *(Esto posiblemente va en el curso de cómputo)
Integración numérica: método del trapecio y de Simpson,
estimación del error en teérminos de
|f(2)| y |f(4)|.
resp. Cálculos usando Mathematica.
- Aplicaciones de la integral: área entre curvas,
longitud de gráficas.
- Mas Aplicaciones de la integral
(se pospone las pruebas a Cálculo
3 y 4): volumen y área de un sólido
de revolución, volúmenes via integración de
área de secciones transversales (e.g. volumen de elipsoide,
tetraedro, etc).
-
TEOREMA DE TAYLOR
- Teorema de Taylor: aproximación
mediante polinomios, polinomio de Taylor, Teorema de Taylor,
aplicaciones tipo ``calcular la raiz cuadrada de e con un error menor a
0.001", y ``calcular la integral entre 0 y 1 de e^{-x^2}dx con error menor
que 0.0001, etc., polinomio de taylor de exp, log, sin,
cos, arctan, etc. Binomio de Newton de (1+x)^a para
a real.
- *demo que e no es algebraico.
- Convergencia uniforme y series de potencias: convergencia
uniforme vs puntual, convergencia uniforme e integración,
convergencia uniforme y continuidad, convergencia uniforme y
diferenciación, series de funciones, Weierstrass M-test, ejemplo
de función continua que no es diferenciable en ningún sitio,
series de potencias, convergencia, integración y diferenciación
de series de potencias, serie de Taylor, unicidad, suma, producto,
cociente y composición de series de potencias (*demostraciones correspondientes a los teoremas
anteriores)
- SUGERENCIA: no se espera que el profesor cubra con
profundidad los temas de series y sucesiones de funciones, solo lo
necesario para aplicarlo a series de potencias, ver e.g. Spivak);
- *concepto de función analítica, *ejemplo de
e^{-1/x^2}.
BIBLIOGRAFIA:
- [Sp],M. Spivak, "Calculus"
- [Si], G. F. Simmons, "Calculus with Analytic Geometry", McGraw-Hill,
1976.
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