Variable Compleja I, 4 de Junio, 1999

Examen Final

Resolver 4 de los siguientes 5 problemas.

1. Los números de Fibonacci se definen por c_{0} = 0, c_{1} = 1, c_{n} = c_{n−1} + c_{n−2}, n ≥ 2. Encuentra el radio de convergencia de la serie ∑_{n=0}^{∞} c_{n}z^{n} y demuestra que es la serie de Taylor de una función racional (el cociente de dos polinomios).

2. Sea U ⊂ ℂ un abierto. Demuestra que una singularidad aislada z_{0} ∈ U de una funci ’on holomorfa f : U \ {z_{0}} → ℂ es eliminable si la parte real de f est’a acotada.

3. Demostrar que una función meromorfa en el plano extendido ℂ ∪ ∞ es racional.

4. Sea U el complemento en ℂ del conjunto (−∞, −1] ∪ [1, ∞). Da una definición del t’ermino “una rama anal’itica de \sqrt{1 + z} + \sqrt{1 − z} en U,” y demuestra que tal rama existe.

5. Encontrar todas las transformadas de Möbius que representan rotaciones de la esfera de Riemann.

(Sugerencia: Demuestra primero que A : z ↦ −1/z̄ representa la transformación “ant’ipoda” en la esfera de Riemann, v ↦ −v, v ∈ S^{2} ⊂ ℝ^{3}. Luego demuestra que una transformada de Möbius T representa una rotación de S^{2} si y solo si conmuta con la antípoda, i.e. T A = AT.)