Variable Compleja I, 16 de Abril, 1999

Examen num. 2

Resolver problema 1 y dos de los de mas (tres problemas en total.)

1. Define una rama de \sqrt{1 + z} + \sqrt{1 − z} en un dominio adecuado en ℂ y demuestra que es analítica.

2. Sea U ⊂ ℂ un abierto y f : U → ℂ una función analítica tal que |f(z) − 1| < 1 para todo z ∈ U. Demuestra que

∫_{γ} \frac{f′(z)}{f(z)}dz = 0

para toda γ cerrada en U.

3. Calcula

∫_{|z|=2} \frac{dz}{z^{2} − 1},

para el sentido positivo del círculo.

4. Calcula

∫_{|z|=1} \frac{|dz|}{|z − a|^{2}} ,

donde |a| ≠ 1.