Variable Compleja I, 10 de Marzo, 1999

Examen num. 1

Resolver 4 de los siguientes 5 problemas.

1. Calcular el valor (la parte real e imaginaria) de

(1 + i)^{10} + (1 − i)^{10}.

2. Sea f : ℂ → ℂ una función analítica cuyo valor absoluto |f| es constante. Demostrar que f es constante.

3. Encontrar la transformada de Möbius que manda 0, i, −i a 1, −1, 0 (respectivamente.)

4. Encontrar todas las transformadas de Möbius que representan rotaciones de la esfera de Riemann.

(Sugerencia: Demuestra primero que A : z ↦ −1/z̄ representa la transformación “antípoda’’ en la esfera de Riemann, v ↦ −v, v ∈ S^{2} ⊂ ℝ^{3}. Luego demuestra que una transformada de Möbius T representa una rotación de S^{2} ssi conmuta con la antípoda, i.e. T A = AT.)

5. Encontrar todas las transformadas de Möbius que preservan el círculo unitario S^{1} = {z ∈ ℂ | |z| = 1}, i.e. las transformadas de Möbius T tal que T (S^{1}) ⊂ S^{1}.

(Sugerencia: Demuestra que una transformada de Möbius T preserva S^{1} ssi conmuta con la reflexión R : z ↦ 1/z̄, i.e. T R = RT.)