Solución de un problema de la tarea

Geometria Riemanniana 24 Marzo, 1998

El Problema. Hay que demostrar que

f_{1}(x) = t + 2\frac{x − t}{|x − t|^{2}} , con t = −e_{1} = (−1, 0, …, 0),

es una isometría D → H, donde D = {x ∈ R^{n} | |x| < 1} con la métrica |dx|^{2}/(1 − |x|^{2})^{2}, y H = {y ∈ R^{n}| y_{1} < 1} con la métrica |dy|^{2}/|y_{1}|^{2}.

Demostración.

1. Nota que f_{1} = T ∘ f ∘ T^{−1}, donde T (x) = x + t, f(x) = x/|x|^{2}.

2. (f ∘ f)(x) = x ⟹ mismo para f_{1} (donde está bien definido).

3. f_{1}(D) ⊂ H (hecho en clase) ⟹ f_{1} es un difeo D → H (porque tiene inversa segun 2.)

4. Calculando (f_{1})_{∗}(x) : T_{x}D → T_{f_{1}(x)}H.

Primero, (f_{1})_{∗} = T_{∗} ∘ f_{∗} ∘ T_{∗}^{−1} (regla de la cadena), y T es una isometría así que calculamos f_{∗}.

Sea y = f(x), entonces

dy = \frac{dx}{|x|^{2}} + x d(\frac{1}{|x|^{2}} ),

d(\frac{1}{|x|^{2}} ) = d( (|x|^{2})^{−1}) = −(|x|^{2})^{−2}d(|x|^{2}) = −\frac{2}{|x|^{4}} ⟨x, dx⟩

⟹ dy = \frac{dx}{|x|^{2}} − \frac{2x}{|x|^{4}} ⟨x, dx⟩ = \frac{1}{|x|^{2}} (dx − 2\frac{x⟨x, dx⟩}{|x|^{2}})

i.e.

f_{∗}(x)v = \frac{1}{|x|^{2}} (v − 2\frac{x⟨x, v⟩}{|x|^{2}}) = λ(Rv), v ∈ T_{x}D,

donde

λ = \frac{1}{|x|^{2}} , y Rv = v − 2\frac{x⟨x, v⟩}{|x|^{2}}

es la reflexión de v respeto al hiperplano x^{⊥} (una isometría).

Def. Un difeo F : (M_{1}, g_{1}) → (M_{2}, g_{2}) se llama un mapeo conforme con un factor conforme λ ∈ C^{∞}(M_{1}), λ > 0, si

||F_{∗}(x)v||_{g_{2}} = λ(x)||v||_{g_{1}}, para todo v ∈ T_{x}M_{1}.

Cor. f : R^{n}\0 → R^{n}\0 es un difeo conforme con un factor conforme λ = 1/|x|^{2}, respecto a la métrica canonica en R^{n}.

Obviamente, un mapeo conforme con factor conforme = 1 es un isometría, y la composición de dos mapeos conformes F_{1}, F_{2} con factores conformes λ_{1}, λ_{2} (resp.) es un mapeo conforme F_{2} ∘ F_{1} con factor conforme λ_{1}(λ_{2} ∘ F_{1}).

Cor. f_{1} = T ∘ f ∘ T^{−1} tambien es un difeo conforme, con λ(x) = |T^{−1}x|^{−2} = |x + e_{1}|^{−2} (respecto a la métrica canonica).

Prop. Si F : (M_{1}, g_{1}) → (M_{2}, g_{2}) es un mapeo conforme con un factor conforme λ, y redefinimos g̃_{i} = λ_{i}^{2}g_{i}, λ_{i} ∈ C^{∞}(M_{i}), λ_{i} > 0, i = 1, 2, entonces F : (M_{1}, g̃_{1}) → (M_{2}, g̃_{2}) es un mapeo conforme con un factor conforme

\frac{λ_{2} ∘ F}{λ_{1}} λ.

Dem. Ejercisio (fácil).

Ahora aplicamos el último a nuestra situacion, con g̃_{1} = λ_{1}^{2}|dx|^{2}, g̃_{2} = λ_{2}^{2}|dy|^{2} en D, H (resp.), ie

λ_{1} = \frac{1}{1 − |x|^{2}} , λ_{2} = \frac{1}{|y_{1}^{2}|}, λ = \frac{1}{|x + e_{1}|^{2}} ,

entonces f_{1} : (D, g̃_{1}) → (H, g̃_{2}) es un mapeo conforme con factor conforme

\frac{1 − |x|^{2}}{|x + e_{1}|^{2}} (λ_{2} ∘ f_{1})(x) = … = 1,

según un cálculo fácil, ie, f_{1} : (D, g̃_{1}) → (H, g̃_{2}) es una isometría. QED.