Topologia I, 25.10.96

Tarea num. 9 (Fecha de entrega 1.11.95)

1. Prueba que el conjunto de las funciones diferenciables [0, 1] → R, con la metrica inducida por C[0, 1], no es un espacio metrico completo .

2. Sea X un espacio metrico. Una completacion de X es un espacio metrico completo X̃ con una isometria f : X → X̃ tal que f(X) es denso en X̃. En este problema probamos el teorema siguiente:

Cualquier espacio metrico X posee una completacion X → X̃. Adema, la completacion es unica, en el sentido siguiente: si f_{1} : X → X̃_{1} y f_{2} : X → X̃_{2} son dos completaciones de X, entonces existe una isometria X̃_{1} → X̃_{2}, unica, que mapea f_{1} a f_{2}; ie el siguiente diagrama conmuta:

X

X̃_{1} → X̃_{2}

a) Prueba que una funcion uniformamente continua entre dos espacios metricos manda sucesiones de Cauchy a sucesiones de Cauchy.

b) Sean X y Y dos espacios metricos, Y completo, A un subconjunto denso en X y f : A → Y una funcion uniformamente continua (ver tarea 3, problema 3c). Prueba que f tiene una extension unica a una funcion continua X → Y, y esta extension es uniformamente continua tambien (ver tambien tarea 2, problema 2b).

c) Sea A un subconjunto denso en un espacio metrico X. Prueba que si toda sucesion de Cauchy en A converge a un elemento de X entonces X es completo.

d) Prueba que la completacion de un espacio metrico, si existe, es unica, en el sentido explicado arriba.

e) Sea X̄ el conjunto de todas las sucesiones de Cauchy en un espacio metrico X. Prueba que para cada x̄ = (x_{1}, x_{2}, ...) y ȳ = (y_{1}, y_{2}, ...) en X̄, el limite lim d(x_{i}, y_{i}) existe y denotalo por ρ(x̄, ȳ). Prueba que ρ es una seuda-metrica en X̄ (ver tarea 1, problema 6). Denota el espacio de clases de equivalencia correspondiente por [X̄].

f) Usando la notacion del inciso anterior, prueba que x ↦ [(x, x, x, ...)] define una isometria X → [X̄] cuya imagen es densa en [X̄], asi que obtenemos una completacion de X.

3. Prueba la existencia de una funcion continua [0, 1] → R que no es monotona en ningun sub-intervalo de [0, 1].

Sugerencia: sea {I_{n}}, n = 1, 2, 3..., la coleccion de todos los sub-intervalos de [0, 1] con extremos racionales y considera los subconjuntos F_{n} := {f ∈ C[0, 1]|f es monotona en I_{n}}.

4^{∗}. Sea f : [0, 1] → R una funcion con derivadas de todo orden tal que para cada x ∈ [0, 1] existe un n tal que la n-sima derivada de f en x es 0 (n posiblemente depende de x). Prueba que f es un polinomio.

Sugerencia: sea F_{n} = {x ∈ [0, 1]|f^{(n)}(x) = 0}, n = 0, 1, 2, ..., G_{n} =int(F_{n}), G = ∪G_{n}. Prueba que: a) G_{0} ⊂ G_{1} ⊂ G_{2} ⊂ .... b) Es suficiente probar que G = [0, 1]. c) G es denso en [0, 1] (Usa el teorema de la categoria de Baire). d) Si J ⊂ G es un intervalo, entonces existe un n tal que J ⊂ G_{n} (considera priemro un intervalo cerrado, luego una union creciente de intervalos cerrados). e) K = I − G no tiene puntos aislados (si no es vacio). f) Si K no es vacio entonces existe un intervalo J y un m tal que J ∩ K ⊂ K ∩ F_{m} (Usa el teorema de la categoria de Baire para K = ∪K_{n} donde K_{n} = K ∩ F_{n}). g) J ∩ K ⊂ ⋂_{m}^{∞} F_{n}. h) Sea L un intervalo maximal de G ∩ J. Prueba que L ⊂ G_{m}. (Se sabe, por d), que L ⊂ G_{n} para algun n. L tiene por lo menos un exteremo en J ∩ K. Considera los casos n < m y n ≥ m).