Topologia I, 18.10.96

Tarea num. 8 (Fecha de entrega 2.10.96)

1. Sea X un espacio topologico, G y H dos grupos topologicos actuando continuamente en X, satisfaciendo la siguiente condicion: x_{1} ∼ x_{2} (mod H) implica g · x_{1} ∼ g · x_{2} (mod H) para todo g ∈ G.

a) Prueba que esta condicion se satisface cuando las acciones de G y H conmuten (ie g · (h · x) = h · (g · x), para todo g ∈ G, h ∈ H, x ∈ X).

b) Prueba que la accion de G inducida en X/H es continua.

2. Sea Gr_{k,n}(R) el conjunto de todos los subespacios lineales de dimension k en R^{n} (“el Grasmaniono”). Le damos una topologia de la manera siguiente. Consideramos el espacio St_{k,n}(R) de todos los mapeos lineales inyectivos ϕ : R^{k} → R^{n} (“la variedad de Stiefel”), con la topolgia inducida del espacio de todas las matrices n × k (un espacio euclideano de dimension kn). Definimos una accion del grupo GL_{k}(R) en St_{k,n}(R) por ϕ ↦ ϕ ∘ h^{−1}, h ∈ GL_{k}(R).

a) Prueba que eso define una accion continua de GL_{k}(R) en St_{k,n}(R).

b) Prueba que el mapeo ϕ ↦ Im(ϕ) (la imagen de ϕ) define una biyeccion entre St_{k,n}(R)/GL_{k}(R) y Gr_{k,n}(R).

Usamos esta biyeccion para dar topologia a Gr_{k,n}(R) (declarandola un homeomorfismo). Definimos ahora una accion de GL_{n}(R) en St_{k,n}(R) por ϕ ↦ g ∘ ϕ, g ∈ GL_{n}(R).

c) Prueba que eso define una accion continua de GL_{n}(R) en St_{k,n}(R), que conmuta con la accion de GL_{k}(R) de inciso a), y que la accion inducida en Gr_{k,n}(R), W ↦ g(W), g ∈ GL_{n}(R), W ∈ Gr_{k,n}(R), es continua y transitiva. Encuentra el estabilizador para el subespacio k-dimensional generado por los primeros k elementos de la base estandar de R^{n}.

d) Prueba que Gr_{k,n}(R) es conexo y compacto.

Sugerencia: Prueba que la accion restringida a SO_{n}(R) queda transitiva.

e) Definimos un mapeo Gr_{k,n}(R) → Mat_{n}(R) (las matrices reales n × n con la topologia usual). A cada W ∈ Gr_{k,n}(R) le asociamos la matriz de la proyeccion ortogonal sobre W (ie, para x ∈ R^{n} le descoponemos x = x′ + x′′, x′ ∈ W , x′′ ∈ W^{⊥}, y mandamos x ↦ x′). Prueba que este mapeo define un homeomorfismo entre Gr_{k,n}(R) y las matrices P ∈ Mat_{n}(R) de rango k que satisfacen P^{t} = P, P^{2} = P.

3. Definimos una accion del grupo Z (los enteros con la topologia discreta) en T por a · z = u^{a}z, donde u = e^{2πir}, r un numero real fijo.

a) Prueba que es una accion continua.

b) Prueba que para r racional todas las orbitas son finitas, y de hecho la accion factoriza a traves de un grupo ciclico finito, ie existe un k ∈ N tal que Z → Homeo(T) es la composicion de la proyeccion Z → Z_{k} y una accion continua Z_{k} → Homeo(T). Ademas, T/Z es homeomorfo a T.

c) Prueba que para r irracional la accion es libre y que todas las orbitas son densas en T. Describe la topologia del cociente (Hausdorff? compacto? conexo? ...).

d)^{∗} Generaliza lo anterior para la accion de Z en T^{n}, a · (z_{1}, ..., z_{n}) = (u_{1}^{a}z, ....u_{n}^{a}z_{a}).