Topologia I, 4.10.96

Tarea num. 7 (Fecha de entrega 18.10.96)

1. a) Prueba que cada abierto conexo en R^{n} es arco-conexo (“conexo por trayectorias ”).

b) Prueba que cada abierto conexo en R^{n} es conexo por trayectorias poligonales (i.e. trayectorias continuas γ : [0, 1] → R^{n} tal que existen 0 = t_{0} < t_{1} < t_{2}... < t_{n} = 1 tal que en cada segmento [t_{i}, t_{i+1}] γ es una funcion lineal, posiblemente no homogenia).

2. Sea {C_{α}} una familia de subconjuntos arco conexos de un espacio toplogico. Prueba que si la interseccion de la familia no es vacia entonces la union es arco-conexa.

3. a) Define una accion de Z_{2} en S^{n} por (−1) · x = −x. Prueba que es una accion continua libre (ie todos los estabilizadores son triviales) y que S^{n}/Z_{2} es homeomorfo a RP^{n}.

b) Define una accion de U(1) en S^{2n+1} ⊂ C^{n+1} por λ · x = λx. Prueba que es una accion continua libre y que S^{2n+1}/U(1) es homeomorfo a CP^{n}.

c) Define una accion de Sp(1) (los quaterniones de norma 1) en S^{4n+3} ⊂ H^{n+1} por λ · x = λx. Prueba que es una accion continua libre y que S^{4n+3}/Sp(1) es homeomorfo a HP^{n}.

4. Definimos una accion del grupo S_{3} (permutaciones de 3 objetos) en R^{3} con la formula σ · (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{σ^{−1}(1)}, x_{σ^{−1}(2)}, x_{σ^{−1}(3)}).

a) Prueba que es una accion continua, de hecho lineal y aun ortogonal (ie, la imagen de S_{3} en el grupo de homeomorfismo de R^{3} esta contenida en O_{3}(R)) y encuentra las orbitas y los estabilizadores de esta accion.

b) Prueba que el plan x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0 es invariante y dibuja algunas orbitas en este plan.

c)^{∗} Prueba que el cociente R^{3}/S_{3} es homeomorfo a R^{2} × [0, ∞).

5. Sea G un grupo topologico compacto. Define una accion de G en C(G; C) (el espacio de las funciones continuas complejas G → R con la metrica de supremo) por (g · f)(x) = f(g^{−1}x).

a) Prueba que es una accion por isometrias. Es una accion continua?

b) Para el grupo T = U(1) prueba que para cada entero n, el subespacio 1-dimensional generado por el exponencial f(z) = z^{n} es invariante.

c) Prueba que la funcion que asigna a una funcion f en T su integral ∫_{0}^{2π} f(θ)dθ es continua y invariante (ie constante en las orbitas de la accion).

d)^{∗} Prueba que un subespacio lineal cerrado es invariante ssi esta generado (ie es la cerradura del espacio lineal generado por) los exponenciales que contiene.